Uma esfera metálica de raio é aquecida em um forno a uma temperatura , retirada e colocada para resfriar a uma temperatura ambiente por convecção e radiação. emissividade da superfície externa da esfera é , e a temperatura das superfícies ao redor é #{sm} Com uma condutividade térmica variável e uma transferência de calor unidimensional transiente, expresse a formulação matemática (equação diferencial e condições inicial e de contorno) desse problema de condução de calor. Não resolva o problema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera metálica que está esfriando por condução de calor, convecção e radiação. O conteúdo que vamos usar aqui é de condução de calor em regime transiente, ou seja, quando a temperatura varia ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação da condução de calor em coordenadas esféricas, considerar a condutividade térmica variável e incluir os efeitos da convecção e radiação na superfície da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação diferencial que descreve como a temperatura varia dentro da esfera ao longo do tempo. Como a esfera tem simetria radial, usamos coordenadas esféricas e consideramos que a transferência de calor ocorre apenas na direção radial. A equação geral da condução de calor em regime transiente para coordenadas esféricas com condutividade térmica variável é:
Aqui:
é a densidade do material,
é a capacidade térmica específica,
é a temperatura,
é o tempo,
é a coordenada radial.
Passo 3
Agora, precisamos definir a condição inicial, que é o estado de temperatura da esfera antes de começarmos a observar o resfriamento. Segundo o enunciado, a temperatura inicial da esfera é . Então, a condição inicial é:
Isso significa que, no tempo inicial , toda a esfera está na temperatura .
Passo 4
Em seguida, vamos estabelecer a condição de contorno na superfície da esfera (). Aqui, o calor está sendo perdido tanto por convecção quanto por radiação para o ambiente a uma temperatura . A transferência de calor por convecção é dada por , onde é o coeficiente de transferência de calor por convecção. A transferência por radiação é dada por , onde:
é a emissividade da superfície,
é a constante de Stefan-Boltzmann.
Então, a condição de contorno fica:
Isso relaciona o fluxo de calor na superfície com as perdas por convecção e radiação.
Resposta
A formulação matemática do problema é dada pela seguinte equação diferencial e condições:
Equação Diferencial:
Condição Inicial:
Condição de Contorno na Superfície ():
Essas expressões modelam como a temperatura dentro da esfera varia no tempo devido à condução de calor, considerando as perdas por convecção e radiação na superfície.