Uma esfera metálica de raio r0 é aquecida em um forno a uma temperatura Ti, retirada e colocada para resfriar a uma temperatura ambiente Tinfty por convecção e radiação. A emissividade da superfície externa da esfera é varepsilon, e a temperatura das superfícies ao redor é #{sm} Com uma condutividade térmica variável e uma transferência de calor unidimensional transiente, expresse a formulação matemática (equação diferencial e condições inicial e de contorno) desse problema de condução de calor. Não resolva o problema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera metálica que está esfriando por condução de calor, convecção e radiação. O conteúdo que vamos usar aqui é de condução de calor em regime transiente, ou seja, quando a temperatura varia ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação da condução de calor em coordenadas esféricas, considerar a condutividade térmica variável e incluir os efeitos da convecção e radiação na superfície da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação diferencial que descreve como a temperatura varia dentro da esfera ao longo do tempo. Como a esfera tem simetria radial, usamos coordenadas esféricas e consideramos que a transferência de calor ocorre apenas na direção radial. A equação geral da condução de calor em regime transiente para coordenadas esféricas com condutividade térmica variável rho cp partial Tpartial t = 1r^2 partialpartial r ( r^2 k(r) partial Tpartial r ) é:
Aqui:
  • é a densidade do material,
  • é a capacidade térmica específica,
  • é a temperatura,
  • é o tempo,
  • é a coordenada radial.

Passo 3

Agora, precisamos definir a condição inicial, que é o estado de temperatura da esfera antes de começarmos a observar o resfriamento. Segundo o enunciado, a temperatura inicial da esfera é T(r, 0) = Ti para todo 0 <= r <= r0 . Então, a condição inicial é:
Isso significa que, no tempo inicial , toda a esfera está na temperatura .

Passo 4

Em seguida, vamos estabelecer a condição de contorno na superfície da esfera ( - k(r0) partial Tpartial rg|r=r0 = h ( T(r0, t) - Tinfty ) + varepsilon sigma ( T(r0, t)^4 - Tinfty^4 ) ). Aqui, o calor está sendo perdido tanto por convecção quanto por radiação para o ambiente a uma temperatura . A transferência de calor por convecção é dada por , onde é o coeficiente de transferência de calor por convecção. A transferência por radiação é dada por , onde:
  • é a emissividade da superfície,
  • é a constante de Stefan-Boltzmann.
Então, a condição de contorno fica:
Isso relaciona o fluxo de calor na superfície com as perdas por convecção e radiação.

Resposta

A formulação matemática do problema é dada pela seguinte equação diferencial e condições:
Equação Diferencial:
rho cp partial Tpartial t = 1r^2 partialpartial r ( r^2 k(r) partial Tpartial r )
Condição Inicial:
T(r, 0) = Ti para todo 0 <= r <= r0
Condição de Contorno na Superfície ( - k(r0) partial Tpartial rg|r=r0 = h ( T(r0, t) - Tinfty ) + varepsilon sigma ( T(r0, t)^4 - Tinfty^4 ) ):
Essas expressões modelam como a temperatura dentro da esfera varia no tempo devido à condução de calor, considerando as perdas por convecção e radiação na superfície.

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