O aumento de pressão através de uma bomba De pode ser afetado pela densidade do fluido rho, pela velocidade angular w, pelo diâmetro do impulsor D, pela taxa volumétrica Q e pela viscosidade do fluido mu. Encontre os grupos adimensionais pertinentes, de modo que De e mu apareçam cada um em apenas um grupo.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um problema onde queremos encontrar grupos adimensionais que envolvem o aumento de pressão numa bomba ( De), a densidade do fluido ( rho), a velocidade angular ( w), o diâmetro do impulsor ( D), a taxa volumétrica ( Q) e a viscosidade do fluido ( mu). A ideia aqui é usar a análise dimensional, especificamente o Teorema de Buckingham Pi, para encontrar esses grupos sem precisar se preocupar com as unidades. Vamos precisar identificar todas as variáveis envolvidas e suas dimensões para montar os grupos certos onde cada uma das variáveis De, Q e mu apareça apenas uma vez.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as variáveis e suas dimensões fundamentais. As dimensões mais comuns são Massa (M), Comprimento (L) e Tempo (T). Vamos ver cada uma:
  • De (Aumento de pressão): A pressão tem dimensão M L^-1 T^-2.
  • rho (Densidade do fluido): Massa por volume, então M L^-3.
  • w (Velocidade angular): Medida em radianos por segundo, mas a dimensão relevante aqui é a frequência, então T^-1.
  • D (Diâmetro do impulsor): Comprimento, ou seja, L.
  • Q (Taxa volumétrica): Volume por tempo, então L^3 T^-1.
  • mu (Viscosidade do fluido): Viscosidade dinâmica tem dimensão M L^-1 T^-1.

Passo 3

Agora, segundo o Teorema de Buckingham Pi, para encontrar os grupos adimensionais, a gente precisa identificar quantas dimensões básicas estão envolvidas e quantas variáveis temos. Aqui temos 3 dimensões básicas ( M, L, T) e 6 variáveis. A fórmula para o número de grupos Pi é k = n - m, onde n é o número de variáveis (6) e m é o número de dimensões básicas (3). Então, teremos k = 6 - 3 = 3 grupos adimensionais.

Passo 4

Vamos escolher 3 variáveis de repetição que contêm todas as dimensões básicas. Geralmente, escolhemos rho, w e D porque elas cobrem as dimensões M, L e T. Agora, vamos formar os grupos Pi combinando as outras variáveis ( De, Q, mu) com as repetição.

Passo 5

Primeiro Grupo Pi ( Pi1): Vamos relacionar De com as repetições rho, w, e D.
Pi1 = De
Aqui, estamos basicamente comparando a pressão com a força dinâmica do fluido.
Segundo Grupo Pi ( Pi2): Agora, vamos relacionar Q com as repetições.
Pi2 = Qw D^3
Esse grupo compara a taxa de fluxo volumétrico com uma escala baseada na velocidade angular e no tamanho do impulsor.
Terceiro Grupo Pi ( Pi3): Por último, relacionamos a viscosidade mu com as repetições.
Pi3 = murho w D
Esse grupo relaciona a viscosidade com a força dinâmica e as dimensões do sistema.

Resposta

Os grupos adimensionais pertinentes são:
Pi1 = De

Exercícios relacionados