O aumento de pressão através de uma bomba pode ser afetado pela densidade do fluido , pela velocidade angular , pelo diâmetro do impulsor , pela taxa volumétrica e pela viscosidade do fluido . Encontre os grupos adimensionais pertinentes, de modo que e apareçam cada um em apenas um grupo.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um problema onde queremos encontrar grupos adimensionais que envolvem o aumento de pressão numa bomba ( ), a densidade do fluido ( ), a velocidade angular ( ), o diâmetro do impulsor ( ), a taxa volumétrica ( ) e a viscosidade do fluido ( ). A ideia aqui é usar a análise dimensional, especificamente o Teorema de Buckingham Pi, para encontrar esses grupos sem precisar se preocupar com as unidades. Vamos precisar identificar todas as variáveis envolvidas e suas dimensões para montar os grupos certos onde cada uma das variáveis , e apareça apenas uma vez.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as variáveis e suas dimensões fundamentais. As dimensões mais comuns são Massa , Comprimento e Tempo . Vamos ver cada uma:
  • (Aumento de pressão): A pressão tem dimensão .
  • (Densidade do fluido): Massa por volume, então .
  • (Velocidade angular): Medida em radianos por segundo, mas a dimensão relevante aqui é a frequência, então .
  • (Diâmetro do impulsor): Comprimento, ou seja, .
  • (Taxa volumétrica): Volume por tempo, então .
  • (Viscosidade do fluido): Viscosidade dinâmica tem dimensão .

Passo 3

Agora, segundo o Teorema de Buckingham Pi, para encontrar os grupos adimensionais, a gente precisa identificar quantas dimensões básicas estão envolvidas e quantas variáveis temos. Aqui temos 3 dimensões básicas ( , , ) e 6 variáveis. A fórmula para o número de grupos Pi é , onde é o número de variáveis (6) e é o número de dimensões básicas (3). Então, teremos grupos adimensionais.

Passo 4

Vamos escolher 3 variáveis de repetição que contêm todas as dimensões básicas. Geralmente, escolhemos , e porque elas cobrem as dimensões , e . Agora, vamos formar os grupos Pi combinando as outras variáveis ( , , ) com as repetição.

Passo 5

Primeiro Grupo Pi ( ): Vamos relacionar com as repetições , , e .
Aqui, estamos basicamente comparando a pressão com a força dinâmica do fluido.
Segundo Grupo Pi ( ): Agora, vamos relacionar com as repetições.
Esse grupo compara a taxa de fluxo volumétrico com uma escala baseada na velocidade angular e no tamanho do impulsor.
Terceiro Grupo Pi ( ): Por último, relacionamos a viscosidade com as repetições.
Esse grupo relaciona a viscosidade com a força dinâmica e as dimensões do sistema.

Resposta

Os grupos adimensionais pertinentes são:

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Resp:
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Avalie a temperatura da superfície interna.
Resp:
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