Os frutos de uma árvore, atacados por uma moléstia, foram apodrecendo dia após dia, segundo os termos de uma progressão geométrica de primeiro termo 1 e razão 3. Isto é, no primeiro dia apodreceu 1 fruto, no segundo dia 3 outros, no terceiro dia 9 outros, e assim sucessivamente. Se no sétimo dia, apodreceram os últimos frutos, acredita-se que nesse dia apodreceram:
A) 1093
B) 729
C) 364
D) 243
E) 2187
A) 1093
B) 729
C) 364
D) 243
E) 2187
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre uma árvore cujos frutos estão apodrecendo seguindo uma progressão geométrica. Isso significa que a cada dia o número de frutos que apodrece é multiplicado por uma razão fixa. Aqui, o primeiro termo da progressão é 1 (no primeiro dia apodreceu 1 fruto) e a razão é 3 (a cada dia o número de frutos apodreciu é triplicado). Precisamos descobrir quantos frutos apodreceram no sétimo dia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma progressão geométrica (PG). É uma sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior multiplicado por uma razão constante. A fórmula para encontrar o enésimo termo de uma PG é:
Onde:
- $ a_n $ é o termo que queremos encontrar.
- $ a_1 $ é o primeiro termo.
- $ r $ é a razão da PG.
- $ n $ é a posição do termo na sequência.
Passo 3
No nosso caso:
- $ a_1 = 1 $ (no primeiro dia apodreceu 1 fruto)
- $ r = 3 $ (a cada dia o número de frutos apodrece aumenta em um fator de 3)
- $ n = 7 $ (queremos saber quantos frutos apodreceram no sétimo dia)
Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Agora, precisamos calcular $ 3^6 $. Vamos fazer isso passo a passo:
Resposta
No sétimo dia, apodreceram 729 frutos.