A função é dada como uma função implícita. Encontre i) ; ii) a equação do plano tangente, iii) a equação da reta ortogonal nos pontos dados: ,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função implícita definida pela equação . O que a gente precisa fazer é:
Encontrar as derivadas parciais e .
Escrever a equação do plano tangente a essa superfície.
Determinar a equação da reta ortogonal nesse ponto.
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como diferenciação implícita e geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais e . Como está implícita na equação, a gente usa a diferenciação implícita. Vou te mostrar como:
A equação dada é:
Vamos chamar essa equação de , onde:
Agora, para achar e , usamos a seguinte fórmula da diferenciação implícita:
Onde , e são as derivadas parciais de em relação a , e respectivamente.
Calculando as derivadas:
Agora, substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto considerado. A equação geral do plano tangente é dada por:
Onde é o ponto de tangência.
Usando as derivadas que calculamos:
Podemos simplificar isso para obter a equação do plano tangente.
Passo 4
Por último, vamos determinar a equação da reta ortogonal ao plano tangente no ponto . A reta ortogonal terá como direção o vetor normal ao plano tangente, que é dado pelas derivadas parciais , , e .
A equação paramétrica da reta ortogonal é:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Onde é um parâmetro real.
Resposta
i) As derivadas parciais são:
partial zpartial x = z^2x^2 e partial zpartial y = z^2y^2