A função z=f(x, y) é dada como uma função implícita. Encontre i) partial zpartial x, partial zpartial y; ii) a equação do plano tangente, iii) a equação da reta ortogonal nos pontos dados: 1x+1y+1z-1=0,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função implícita definida pela equação . O que a gente precisa fazer é:
  1. Encontrar as derivadas parciais e .
  2. Escrever a equação do plano tangente a essa superfície.
  3. Determinar a equação da reta ortogonal nesse ponto.
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como diferenciação implícita e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais 1x + 1y + 1z - 1 = 0 e F(x, y, z) = 1x + 1y + 1z - 1 . Como partial zpartial x = -FxFz e partial zpartial y = -FyFz está implícita na equação, a gente usa a diferenciação implícita. Vou te mostrar como:
A equação dada é:
Fx = -1x^2, Fy = -1y^2, Fz = -1z^2
Vamos chamar essa equação de partial zpartial x = --1x^2-1z^2 = z^2x^2 , onde:
partial zpartial y = --1y^2-1z^2 = z^2y^2
Agora, para achar e , usamos a seguinte fórmula da diferenciação implícita:
Onde , e são as derivadas parciais de em relação a , e respectivamente.
Calculando as derivadas:
Agora, substituindo na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto considerado. A equação geral do plano tangente é dada por:
Fx (x - x0) + Fy (y - y0) + Fz (z - z0) = 0
Onde -1x0^2 (x - x0) - 1y0^2 (y - y0) - 1z0^2 (z - z0) = 0 é o ponto de tangência.
Usando as derivadas que calculamos:
Podemos simplificar isso para obter a equação do plano tangente.

Passo 4

Por último, vamos determinar a equação da reta ortogonal ao plano tangente no ponto x = x0 + Fx t y = y0 + Fy t z = z0 + Fz t . A reta ortogonal terá como direção o vetor normal ao plano tangente, que é dado pelas derivadas parciais x = x0 - 1x0^2 t y = y0 - 1y0^2 t z = z0 - 1z0^2 t , , e .
A equação paramétrica da reta ortogonal é:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Onde é um parâmetro real.

Resposta

i) As derivadas parciais são:
partial zpartial x = z^2x^2 e partial zpartial y = z^2y^2
ii) A equação do plano tangente é:
-1x0^2 (x - x0) - 1y0^2 (y - y0) - 1z0^2 (z - z0) = 0
iii) A equação da reta ortogonal no ponto x = x0 - 1x0^2 t y = y0 - 1y0^2 t z = z0 - 1z0^2 t é:
Onde é um parâmetro real.

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Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries:
sumn=1^infty 1n^1 / 2+n^1 / 3.
Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
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Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:
sumn=1^infty n+32 n^2+1.
Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
2. ( ) Se sumn=1^infty|an| então sumn=1^infty an. Segue desse resultado que toda série absolutamente convergente é convergente.