Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
2. ( ) Se
então
. Segue desse resultado que toda série absolutamente convergente é convergente.
2. ( ) Se
Passo 1
Vamos entender a questão. O enunciado nos pede para julgar se a seguinte afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F):
“Se
então
. Segue desse resultado que toda série absolutamente convergente é convergente.”
Estamos lidando com séries infinitas e conceitos de convergência absoluta e convergência normal. Vamos precisar entender o que significa uma série ser absolutamente convergente e como isso se relaciona com a convergência da série original.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é uma série absolutamente convergente. Uma série
é chamada de absolutamente convergente se a série dos seus valores absolutos,
, converge.
Isso significa que, mesmo se os termos
forem positivos ou negativos, ao considerar apenas os valores absolutos, a soma ainda acumula para um número finito.
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira parte da afirmação:
“Se
então
.”
Essa parte está afirmando que se a série dos valores absolutos converge, então a série original também converge.
Na teoria das séries, sabemos que se uma série é absolutamente convergente, ela é convergente. Isso é garantido pelo Critério da Convergência Absoluta. Portanto, essa parte da afirmação é verdadeira.
Passo 4
A segunda parte da afirmação diz:
“Segue desse resultado que toda série absolutamente convergente é convergente.”
Isso está basicamente repetindo o que já entendemos: se uma série é absolutamente convergente, então ela também é convergente.
Como já vimos no passo anterior, isso é uma consequência direta do Critério da Convergência Absoluta. Portanto, essa parte também é verdadeira.
Passo 5
Com base na análise acima, ambas as partes da afirmação estão corretas. A primeira parte estabelece que a convergência da série dos valores absolutos implica a convergência da série original. A segunda parte reafirma que toda série absolutamente convergente é convergente.
Resposta
Verdadeiro (V). Se a série dos valores absolutos
converge, então a série original
também converge. Portanto, toda série absolutamente convergente é convergente.
Exercícios relacionados
Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:
.
A função
é dada como uma função implícita. Encontre i)
; ii) a equação do plano tangente, iii) a equação da reta ortogonal nos pontos dados:
,
Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
4. ( ) Se e
então a série é dita condicionalmente convergente. A série harmônica alternada é um exemplo de uma série numérica condicionalmente convergente ou simplesmente convergente e a série numérica
é um exemplo de uma série numérica absolutamente convergente.
4. ( ) Se
Encontre máximos e mínimos condicionados:
sobre a elipse
;