A função densidade de probabilidade do peso líquido, em gramas, de um pacote de herbicida químico é f(x)=2,0 para 49,75 gramas:
Qual o mínimo de herbicida químico (em gramas) está contido em 90 % de todos os pacotes? (R: 49,8 g )

Passo 1

Então, a gente tem um pacote de herbicida químico cujo peso líquido segue uma função densidade de probabilidade uniforme, ou seja, a probabilidade de encontrar um peso específico entre 49,75g e 50,25g é constante. A questão pede para a gente descobrir o mínimo de herbicida que está presente em 90% de todos os pacotes. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição uniforme e usar um pouco de cálculo básico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função densidade de probabilidade (f(x)). Ela nos mostra a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir um valor específico. No caso da distribuição uniforme, essa função é constante dentro do intervalo considerado. Aqui, a função é f(x) = 2,0 para 49,75 < x < 50,25.

Passo 3

Como a distribuição é uniforme, a área total sob a curva da função densidade de probabilidade deve ser igual a 1. Essa área representa a probabilidade total de todos os possíveis valores de x. Vamos verificar isso calculando a área do retângulo formado pela função:
Área = base × altura = (50,25 - 49,75) × 2,0 = 0,5 × 2,0 = 1
Então, está tudo certo.

Passo 4

Agora, queremos encontrar o valor mínimo de herbicida que está presente em 90% dos pacotes. Isso significa que queremos encontrar o valor de x tal que a probabilidade de um pacote ter pelo menos x gramas de herbicida seja 90%. Em outras palavras, queremos o ponto onde 10% dos pacotes têm menos de x gramas.

Passo 5

Para encontrar esse valor, vamos usar a função de distribuição acumulada (F(x)), que nos dá a probabilidade de a variável aleatória ser menor ou igual a um certo valor. No caso da distribuição uniforme, F(x) é uma função linear dentro do intervalo.
A fórmula da função de distribuição acumulada para a distribuição uniforme é:
F(x) = x - ab - a
Onde:
  • $ a $ é o limite inferior (49,75g)
  • $ b $ é o limite superior (50,25g)

Passo 6

Queremos que a probabilidade acumulada até o valor x seja igual a 10%, já que 90% estão acima disso. Então, temos:
F(x) = 0,10
Substituindo na fórmula:
x - 49,7550,25 - 49,75 = 0,10

Passo 7

Vamos resolver essa equação para encontrar x:
x - 49,750,5 = 0,10
Multiplicando ambos os lados por 0,5:
x - 49,75 = 0,05
Somando 49,75 em ambos os lados:
x = 49,75 + 0,05
x = 49,80

Resposta

O mínimo de herbicida químico contido em 90 % de todos os pacotes é 49,8 g.

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