A função densidade de probabilidade do peso líquido, em gramas, de um pacote de herbicida químico é
para
gramas:
Qual o mínimo de herbicida químico (em gramas) está contido em
de todos os pacotes? (R:
)
Qual o mínimo de herbicida químico (em gramas) está contido em
Passo 1
Então, a gente tem um pacote de herbicida químico cujo peso líquido segue uma função densidade de probabilidade uniforme, ou seja, a probabilidade de encontrar um peso específico entre 49,75g e 50,25g é constante. A questão pede para a gente descobrir o mínimo de herbicida que está presente em 90% de todos os pacotes. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição uniforme e usar um pouco de cálculo básico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função densidade de probabilidade (f(x)). Ela nos mostra a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir um valor específico. No caso da distribuição uniforme, essa função é constante dentro do intervalo considerado. Aqui, a função é f(x) = 2,0 para 49,75 < x < 50,25.
Passo 3
Como a distribuição é uniforme, a área total sob a curva da função densidade de probabilidade deve ser igual a 1. Essa área representa a probabilidade total de todos os possíveis valores de x. Vamos verificar isso calculando a área do retângulo formado pela função:
Área = base × altura = (50,25 - 49,75) × 2,0 = 0,5 × 2,0 = 1
Então, está tudo certo.
Passo 4
Agora, queremos encontrar o valor mínimo de herbicida que está presente em 90% dos pacotes. Isso significa que queremos encontrar o valor de x tal que a probabilidade de um pacote ter pelo menos x gramas de herbicida seja 90%. Em outras palavras, queremos o ponto onde 10% dos pacotes têm menos de x gramas.
Passo 5
Para encontrar esse valor, vamos usar a função de distribuição acumulada (F(x)), que nos dá a probabilidade de a variável aleatória ser menor ou igual a um certo valor. No caso da distribuição uniforme, F(x) é uma função linear dentro do intervalo.
A fórmula da função de distribuição acumulada para a distribuição uniforme é:
Onde:
- $ a $ é o limite inferior (49,75g)
- $ b $ é o limite superior (50,25g)
Passo 6
Queremos que a probabilidade acumulada até o valor x seja igual a 10%, já que 90% estão acima disso. Então, temos:
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Vamos resolver essa equação para encontrar x:
Multiplicando ambos os lados por 0,5:
Somando 49,75 em ambos os lados:
Resposta
O mínimo de herbicida químico contido em 90 % de todos os pacotes é 49,8 g.