Suponha que estamos atirando dardos num alvo circular de raio 10 cm , e seja
a distância do ponto atingido pelo dardo ao centro do alvo. A f.d.p. de
é
Mostre que a probabilidade de acertar qualquer círculo concêntrico é proporcional à sua área.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre atirar dardos em um alvo circular com raio de 10 cm. A variável aleatória $ X $ representa a distância do ponto onde o dardo acerta até o centro do alvo. A função de densidade de probabilidade (f.d.p.) de $ X $ é dada por:
Nosso objetivo é mostrar que a probabilidade de acertar qualquer círculo concêntrico ao alvo é proporcional à sua área. Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções de densidade de probabilidade e calcular integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor da constante $ c $. Sabemos que para $ f(x) $ ser uma função de densidade válida, a integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio deve ser igual a 1:
Vamos calcular essa integral:
Agora, resolvendo para $ c $:
Passo 3
Agora que temos $ c = \frac{1}{50} $, podemos escrever a f.d.p. completa:
Para encontrar a probabilidade de que o dardo acerte dentro de um círculo concêntrico de raio $ r $ (onde $ r \leq 10 $ cm), precisamos calcular a integral de $ f(x) $ de 0 a $ r $:
Vamos calcular essa integral:
Passo 4
Agora, vamos relacionar essa probabilidade com a área do círculo de raio $ r $. A área de um círculo é dada por $ A = \pi r^2 $.
Observamos que a probabilidade $ P(X \leq r) = \frac{r^2}{100} $ é proporcional a $ r^2 $, que por sua vez é proporcional à área $ A $. Portanto, podemos escrever:
Isso mostra que a probabilidade de acertar dentro de um círculo concêntrico de raio $ r $ é proporcional à sua área.
Resposta
A probabilidade de acertar qualquer círculo concêntrico de raio $ r $ é proporcional à sua área, ou seja,
Isso confirma que a probabilidade está proporcional à área do círculo.