A função v(x, y) = 9 - x^2 - (y - 1)^2 descreve a velocidade do vento durante a passagem de um furacão numa determinada região e Victor está em um veículo no ponto P = (1, 3) tentando fugir.
Qual é o valor da taxa de variação de v se Victor sair de P na direção do vetor u = (1/raiz(5), -2/raiz(5)) ? A partir dessa taxa, podemos concluir que Victor estaria no caminho certo?

Passo 1

Ok, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que descreve a velocidade do vento durante um furacão: . O Victor está no ponto e quer fugir nessa direção descrita pelo vetor . Vamos usar o conceito de taxa de variação direcional para descobrir como a velocidade do vento está mudando na direção que Victor escolheu e, com isso, ver se ele está saindo na direção certa.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando mudamos apenas uma variável mantendo a outra fixa.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular essas derivadas parciais no ponto .
Para em :
Para em :

Passo 4

A taxa de variação direcional na direção do vetor é dada pelo produto escalar do gradiente de em com o vetor . O gradiente de em é:
Então, a taxa de variação direcional é:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão da taxa de variação:
Então, a taxa de variação é aproximadamente .

Resposta

A taxa de variação de na direção do vetor no ponto é ou aproximadamente . Como a taxa de variação é positiva, isso significa que a velocidade do vento está aumentando na direção escolhida por Victor. Portanto, ele não estaria no caminho certo para fugir do furacão.

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