A função descreve a velocidade do vento durante a passagem de um furacão numa determinada região e Victor está em um veículo no ponto tentando fugir.
Qual é o valor da taxa de variação de se Victor sair de na direção do vetor ? A partir dessa taxa, podemos concluir que Victor estaria no caminho certo?
Passo 1
Ok, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que descreve a velocidade do vento durante um furacão: . O Victor está no ponto e quer fugir nessa direção descrita pelo vetor . Vamos usar o conceito de taxa de variação direcional para descobrir como a velocidade do vento está mudando na direção que Victor escolheu e, com isso, ver se ele está saindo na direção certa.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando mudamos apenas uma variável mantendo a outra fixa.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos calcular essas derivadas parciais no ponto .
Para em :
Para em :
Passo 4
A taxa de variação direcional na direção do vetor é dada pelo produto escalar do gradiente de em com o vetor . O gradiente de em é:
Então, a taxa de variação direcional é:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão da taxa de variação:
Então, a taxa de variação é aproximadamente .
Resposta
A taxa de variação de na direção do vetor no ponto é ou aproximadamente . Como a taxa de variação é positiva, isso significa que a velocidade do vento está aumentando na direção escolhida por Victor. Portanto, ele não estaria no caminho certo para fugir do furacão.