A função de Morse U(R)=De[1-e^-a(R-Re)]^2 é uma boa aproximação para a energia potencial de uma molécula diatômica onde De está associado à energia de dissociação da molécula. Encontre uma expressão para a energia do fóton absorvido (ou emitido) por uma molécula diatômica descrita por um potencial de Morse para uma transição onde De e para De.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a função de Morse, que é usada pra descrever a energia potencial de uma molécula diatômica. O que a gente precisa encontrar é a energia de um fóton que a molécula absorve ou emite quando ela faz uma transição de estado vibracional com mudança de nível quântico De ou De. Para isso, vamos precisar entender os níveis de energia da molécula conforme a função de Morse e calcular a diferença entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na função de Morse, a energia dos níveis vibracionais ( En) é dada por uma expressão específica. A fórmula geral para os níveis de energia vibracional na função de Morse é:
En = hbar omegae (n + 12) - hbar omegae xe (n + 12)^2
Aqui:
  • hbar é a constante de Planck reduzida.
  • omegae é a frequência vibracional da molécula.
  • n é o número quântico vibracional (inteiro não negativo).
  • xe é a constante de anharmonicidade, que mostra o quanto a molécula se afasta do comportamento harmônico.
Essa fórmula já leva em conta a energia de dissociação De da molécula.

Passo 3

Agora, para encontrar a energia do fóton absorvido ou emitido durante uma transição vibracional, a gente precisa calcular a diferença de energia entre os dois níveis envolvidos na transição. Ou seja, se a molécula está mudando do nível n para n+De, a energia do fóton ( Efótonó) será:
Efóton = En+Deó
Vamos calcular isso para os dois casos pedidos: De e De.

Passo 4

Vamos começar com De. Substituindo na fórmula:
En+1 = hbar omegae (n + 1 + 12) - hbar omegae xe (n + 1 + 12)^2
En = hbar omegae (n + 12) - hbar omegae xe (n + 12)^2
A diferença será:
Efóton = En+1 - En = hbar omegae (1) - hbar omegae xe [ (n + 32)^2 - (n + 12)^2 ] ó
Calculando essa diferença:
(n + 32)^2 - (n + 12)^2 = 2n + 2
Portanto:
Efóton = hbar omegae - hbar omegae xe (2n + 2) ó
Simplificando:
Efóton = hbar omegae (1 - 2xe (n + 1)) ó

Passo 5

Agora, para De, seguimos o mesmo processo. Calculamos a energia do nível n+2:
En+2 = hbar omegae (n + 2 + 12) - hbar omegae xe (n + 2 + 12)^2
A diferença de energia será:
Efóton = En+2 - En = hbar omegae (2) - hbar omegae xe [ (n + 52)^2 - (n + 12)^2 ] ó
Calculando a diferença dos quadrados:
(n + 52)^2 - (n + 12)^2 = 4n + 6
Então:
Efóton = 2hbar omegae - hbar omegae xe (4n + 6) ó
Simplificando:
Efóton = hbar omegae (2 - 4xe (n + 1.5)) ó

Resposta

A energia do fóton absorvido ou emitido para a transição De é:
Efóton = hbar omegae (1 - 2xe (n + 1)) ó
E para a transição De, a energia do fóton é:
Efóton = hbar omegae (2 - 4xe (n + 32)) ó

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