Demonstre que não é possivel ocorrer o efeito fotoelétrico se o elétron estiver livre (de um potencial de interação).
(Dica: parta da lei de conservação do quadrimomentum; utilize o fato de fótons não possuirem energia de repouso e, finalmente, compare a relação de dispersão energia-momentum obtida, com a relação relativística.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o efeito fotoelétrico não acontece se o elétron estiver livre, ou seja, sem estar preso a nenhum potencial de interação. Isso envolve conceitos de conservação do quadrimomentum, energia e momentum dos fótons e elétrons, e a relação relativística entre energia e momentum. Vamos precisar usar essas ideias para provar que, se o elétron estiver livre, não dá para ocorrer o efeito fotoelétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um fóton tem energia e momentum, mas não tem energia de repouso. A energia do fóton é dada por:
Egamma = h nu
E o momentum do fóton é:
pgamma = h nuc k
onde Ee = gamma me c^2 é a constante de Planck, pe = gamma me v é a frequência do fóton, é a velocidade da luz, e é a direção do fóton.
Já o elétron livre tem energia total:
e momentum:
onde é a massa do elétron, é o fator de Lorentz, e é a velocidade do elétron.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a lei de conservação do quadrimomentum. No caso do efeito fotoelétrico, temos um fóton incidindo em um elétron. A conservação do quadrimomentum nos diz que:
pgamma^mu = pe^mu + pe'^mu
onde é o quadrimomentum do fóton antes da colisão, é o quadrimomentum do elétron livre antes da colisão, e é o quadrimomentum do elétron após a colisão.
Como o elétron está livre antes da colisão, podemos considerar que ele está inicialmente em repouso, ou seja, .

Passo 4

Vamos analisar as componentes de energia e momentum separadamente.
Energia:
Egamma + Ee = Ee'
Como o elétron estava em repouso:
h nu + me c^2 = gamma me c^2
Momentum:
pgamma = pe'
Então:
h nuc = gamma me v

Passo 5

Agora, vamos usar a relação relativística entre energia e momentum do elétron após a colisão:
Ee'^2 = (pe' c)^2 + (me c^2)^2
Substituindo (h nu + me c^2)^2 = (h nuc)^2 c^2 + (me c^2)^2 e h^2 nu^2 + 2 h nu me c^2 + me^2 c^4 = h^2 nu^2 + me^2 c^4 :
2 h nu me c^2 = 0
Simplificando:
Cancelando termos iguais:
Isso implica que , ou seja, a frequência do fóton deveria ser zero, o que não faz sentido físico.

Resposta

Como chegamos a uma contradição matemática que exige que a frequência do fóton seja zero, concluímos que não é possível ocorrer o efeito fotoelétrico se o elétron estiver livre. Isso porque as leis de conservação de energia e momentum não podem ser satisfeitas simultaneamente nesse cenário.

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