Demonstre que não é possivel ocorrer o efeito fotoelétrico se o elétron estiver livre (de um potencial de interação).
(Dica: parta da lei de conservação do quadrimomentum; utilize o fato de fótons não possuirem energia de repouso e, finalmente, compare a relação de dispersão energia-momentum obtida, com a relação relativística.)
(Dica: parta da lei de conservação do quadrimomentum; utilize o fato de fótons não possuirem energia de repouso e, finalmente, compare a relação de dispersão energia-momentum obtida, com a relação relativística.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o efeito fotoelétrico não acontece se o elétron estiver livre, ou seja, sem estar preso a nenhum potencial de interação. Isso envolve conceitos de conservação do quadrimomentum, energia e momentum dos fótons e elétrons, e a relação relativística entre energia e momentum. Vamos precisar usar essas ideias para provar que, se o elétron estiver livre, não dá para ocorrer o efeito fotoelétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um fóton tem energia e momentum, mas não tem energia de repouso. A energia do fóton é dada por:
E o momentum do fóton é:
onde
é a constante de Planck,
é a frequência do fóton,
é a velocidade da luz, e
é a direção do fóton.
Já o elétron livre tem energia total:
e momentum:
onde
é a massa do elétron,
é o fator de Lorentz, e
é a velocidade do elétron.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a lei de conservação do quadrimomentum. No caso do efeito fotoelétrico, temos um fóton incidindo em um elétron. A conservação do quadrimomentum nos diz que:
onde
é o quadrimomentum do fóton antes da colisão,
é o quadrimomentum do elétron livre antes da colisão, e
é o quadrimomentum do elétron após a colisão.
Como o elétron está livre antes da colisão, podemos considerar que ele está inicialmente em repouso, ou seja,
.
Passo 4
Vamos analisar as componentes de energia e momentum separadamente.
Energia:
Como o elétron estava em repouso:
Momentum:
Então:
Passo 5
Agora, vamos usar a relação relativística entre energia e momentum do elétron após a colisão:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Cancelando termos iguais:
Isso implica que
, ou seja, a frequência do fóton deveria ser zero, o que não faz sentido físico.
Resposta
Como chegamos a uma contradição matemática que exige que a frequência do fóton seja zero, concluímos que não é possível ocorrer o efeito fotoelétrico se o elétron estiver livre. Isso porque as leis de conservação de energia e momentum não podem ser satisfeitas simultaneamente nesse cenário.