A função de onda do estado fundamental de uma partícula de massa é dada por , com autovalor de energia . Qual é o potencial em que a partícula se move?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função de onda do estado fundamental de uma partícula, que é , e o autovalor de energia associado é . O que você quer encontrar é o potencial no qual essa partícula está se movendo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger Dependente do Tempo na sua forma estacionária. Vamos precisar calcular as derivadas da função de onda e rearranjar a equação para isolar o potencial .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger Dependente do Tempo para uma partícula em uma dimensão:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é o potencial que queremos encontrar, é a energia da partícula, e é a função de onda.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar . Vamos reorganizar a equação para isolá-lo:
Isso significa que precisamos calcular a segunda derivada de em relação a , dividir pelo próprio , multiplicar por e somar a energia .

Passo 4

Vamos calcular a primeira derivada de :
Usando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada de :
Substituindo :

Passo 6

Agora, substituímos na expressão para :
Simplificando:

Passo 7

Para expressar de forma mais clara, podemos reescrever:
No entanto, geralmente consideramos o potencial sem o termo constante , já que ele pode ser ajustado conforme a referência de energia.

Resposta

O potencial no qual a partícula se move é dado por:

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