A função de onda de uma partícula em um estado é
. Calcule
. Utilize:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o produto das incertezas
de uma partícula cuja função de onda é dada por
. Pra resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de mecânica quântica sobre incertezas e funções gaussianas, além de aplicar as integrais que o enunciado forneceu.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a incerteza em posição,
. A incerteza
é definida como o desvio padrão de
, ou seja:
Como a função de onda
é simétrica em relação a
, o valor esperado de
,
, é zero. Então, simplificamos para:
Passo 3
Vamos calcular
:
Substituindo
:
Então:
Como a função é par, podemos escrever:
Passo 4
Utilizando a integral fornecida:
Aqui,
. Então:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora que temos
, a incerteza em posição é:
Passo 6
Vamos agora calcular a incerteza em momentum,
. A incerteza em momentum é dada por:
Assim como antes, devido à simetria da função de onda,
. Então:
Passo 7
Para calcular
, usamos a relação no espaço das ondas:
Onde
é a transformada de Fourier de
. Para uma função gaussiana, a incerteza em momentum está relacionada inversamente à incerteza em posição. Especificamente:
Passo 8
Agora, multiplicando as incertezas:
Resposta
O produto das incertezas é
.