A função de onda de uma partícula em um estado é psi(x)=(1pi alpha)^1 / 4 exp (-x^22 alpha). Calcule De. Utilize:
integral0^infty exp (-a x^2) d x=12(pi2)^1 / 2 ; integral0^infty x exp (-a x^2) d x=12 a integral0^infty x^2 exp (-a x^2) d x=raizpi4(1a^3 / 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o produto das incertezas De de uma partícula cuja função de onda é dada por psi(x)=(1pi alpha)^1 / 4 exp (-x^22 alpha). Pra resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de mecânica quântica sobre incertezas e funções gaussianas, além de aplicar as integrais que o enunciado forneceu.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a incerteza em posição, De. A incerteza De é definida como o desvio padrão de x, ou seja:
De
Como a função de onda psi(x) é simétrica em relação a x = 0, o valor esperado de x, lang<= x rang<=, é zero. Então, simplificamos para:
De

Passo 3

Vamos calcular lang<= x^2 rang<=:
lang<= x^2 rang<= = integral-infty^infty x^2 |psi(x)|^2 dx
Substituindo psi(x):
|psi(x)|^2 = (1pi alpha)^1/2 exp(-x^2alpha)
Então:
lang<= x^2 rang<= = (1pi alpha)^1/2 integral-infty^infty x^2 exp(-x^2alpha) dx
Como a função é par, podemos escrever:
lang<= x^2 rang<= = 2 (1pi alpha)^1/2 integral0^infty x^2 exp(-x^2alpha) dx

Passo 4

Utilizando a integral fornecida:
integral0^infty x^2 exp (-a x^2) d x=raizpi4(1a^3 / 2)
Aqui, a = 1alpha. Então:
integral0^infty x^2 exp(-x^2alpha) dx = raizpi4 ( alpha^3/2 )
Substituindo de volta:
lang<= x^2 rang<= = 2 (1pi alpha)^1/2 cdot raizpi4 cdot alpha^3/2 = alpha2

Passo 5

Agora que temos lang<= x^2 rang<= = alpha2, a incerteza em posição é:
De

Passo 6

Vamos agora calcular a incerteza em momentum, De. A incerteza em momentum é dada por:
De
Assim como antes, devido à simetria da função de onda, lang<= p rang<= = 0. Então:
De

Passo 7

Para calcular lang<= p^2 rang<=, usamos a relação no espaço das ondas:
lang<= p^2 rang<= = integral-infty^infty p^2 |phi(p)|^2 dp
Onde phi(p) é a transformada de Fourier de psi(x). Para uma função gaussiana, a incerteza em momentum está relacionada inversamente à incerteza em posição. Especificamente:
De

Passo 8

Agora, multiplicando as incertezas:
De

Resposta

O produto das incertezas é De.

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