Para a função a seguir esboce seu gráfico para alguns valores de . Observando este gráfico determine se a função é ou não periódica. Caso seja determine seu periodo fundamental e sua frequência fundamental.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
O objetivo aqui é:
  1. Esboçar o gráfico dessa função para alguns valores de .
  2. Analisar o gráfico para determinar se a função é periódica.
  3. Se for periódica, encontrar o período fundamental e a frequência fundamental.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função periódica e como identificar o período e a frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função se comporta. A função é definida por:
  • quando
  • quando
onde é qualquer número inteiro ( ).
Isso significa que, para cada intervalo de , a função alterna entre 0 e 1 em blocos de comprimento 1.

Passo 3

Vamos esboçar o gráfico para alguns valores de :
  • Para :
    • , então :
    • , então :
  • Para :
    • , então :
    • , então :
  • Para :
    • , então :
    • , então :
Plotando esses segmentos, vemos que a função fica em 0 por um intervalo de 1 unidade, depois em 1 por outro intervalo de 1 unidade, e esse padrão se repete para todos os valores de .

Passo 4

Agora, vamos analisar se a função é periódica. Uma função é periódica se existe um valor tal que:
Observando o comportamento que desenhamos, percebemos que a função repete seu padrão a cada 2 unidades de (um ciclo completo de 0 e 1). Isso indica que a função é periódica.

Passo 5

Com base nisso, o período fundamental é o menor valor positivo de que satisfaz a condição acima. Como o padrão se repete a cada 2 unidades, temos:
A frequência fundamental está relacionada ao período pela fórmula:
Substituindo o valor do período:

Resposta

A função é periódica com período fundamental de unidades e frequência fundamental de Hz.

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Seja a função periódica definida como:
Faça a representação gráfica da série e responda:
(a) A função é par ou ímpar? Por quê?
(b) Qual o período fundamental?
© Determine a sua expansão em Série de Fourier.
Calcule o comprimento exato da curva, no intervalo indicado: