Para a função a seguir esboce seu gráfico para alguns valores de
. Observando este gráfico determine se a função é ou não periódica. Caso seja determine seu periodo fundamental e sua frequência fundamental.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
O objetivo aqui é:
- Esboçar o gráfico dessa função para alguns valores de
. - Analisar o gráfico para determinar se a função é periódica.
- Se for periódica, encontrar o período fundamental e a frequência fundamental.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função periódica e como identificar o período e a frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função se comporta. A função
é definida por:
-
quando -
quando
onde
é qualquer número inteiro (
).
Isso significa que, para cada intervalo de
, a função alterna entre 0 e 1 em blocos de comprimento 1.
Passo 3
Vamos esboçar o gráfico para alguns valores de
:
-
Para
: -
, então : -
, então :
-
-
Para
: -
, então : -
, então :
-
-
Para
: -
, então : -
, então :
-
Plotando esses segmentos, vemos que a função fica em 0 por um intervalo de 1 unidade, depois em 1 por outro intervalo de 1 unidade, e esse padrão se repete para todos os valores de
.
Passo 4
Agora, vamos analisar se a função é periódica. Uma função é periódica se existe um valor
tal que:
Observando o comportamento que desenhamos, percebemos que a função repete seu padrão a cada 2 unidades de
(um ciclo completo de 0 e 1). Isso indica que a função é periódica.
Passo 5
Com base nisso, o período fundamental
é o menor valor positivo de
que satisfaz a condição acima. Como o padrão se repete a cada 2 unidades, temos:
A frequência fundamental
está relacionada ao período pela fórmula:
Substituindo o valor do período:
Resposta
A função é periódica com período fundamental de
unidades e frequência fundamental de
Hz.
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Seja a função periódica
definida como:
Faça a representação gráfica da série e responda:
(a) A função é par ou ímpar? Por quê?
(b) Qual o período fundamental?
© Determine a sua expansão em Série de Fourier.
(a) A função
(b) Qual o período fundamental?
© Determine a sua expansão em Série de Fourier.
Calcule o comprimento exato da curva, no intervalo indicado: