Calcule o comprimento exato da curva, no intervalo indicado:
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede para calcular o comprimento exato de uma curva definida pela função
no intervalo de
. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva. Precisamos da derivada da função e de entender como montar a integral que vai nos dar esse comprimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva no intervalo de
a
. A fórmula é:
Essa expressão diz que o comprimento
é a integral, de
até
, da raiz quadrada de
mais o quadrado da derivada da função
em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função
. Usando a regra do poder, temos:
Isso significa que a derivada de
em relação a
é
vezes
elevado à potência
.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o quadrado da derivada que encontramos:
Então, o quadrado da derivada é
vezes
.
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula do comprimento da curva:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição para simplificar. Vamos deixar
, então:
Os limites de integração também mudam:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo na integral:
Agora, integramos
:
Portanto:
Calculando os valores:
Porém, como o exercício pede o comprimento exato, mantemos na forma de raiz:
Resposta
O comprimento exato da curva é
.
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Seja a função periódica
definida como:
Faça a representação gráfica da série e responda:
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© Determine a sua expansão em Série de Fourier.
(a) A função
(b) Qual o período fundamental?
© Determine a sua expansão em Série de Fourier.
Para a função a seguir esboce seu gráfico para alguns valores de
. Observando este gráfico determine se a função é ou não periódica. Caso seja determine seu periodo fundamental e sua frequência fundamental.
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Determine a região do plano ty onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade para equações nãolineares são satisfeitas.
.