Calcule o comprimento exato da curva, no intervalo indicado:
y = (x + 4)^(3 / 2), 0 <= x <= 4

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede para calcular o comprimento exato de uma curva definida pela função no intervalo de . Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva. Precisamos da derivada da função e de entender como montar a integral que vai nos dar esse comprimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva no intervalo de a . A fórmula é:
Essa expressão diz que o comprimento é a integral, de até , da raiz quadrada de mais o quadrado da derivada da função em relação a .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função . Usando a regra do poder, temos:
Isso significa que a derivada de em relação a é vezes elevado à potência .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o quadrado da derivada que encontramos:
Então, o quadrado da derivada é vezes .

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do comprimento da curva:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição para simplificar. Vamos deixar , então:
Os limites de integração também mudam:
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo na integral:
Agora, integramos :
Portanto:
Calculando os valores:
Porém, como o exercício pede o comprimento exato, mantemos na forma de raiz:

Resposta

O comprimento exato da curva é .

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