Seja a função periódica definida como:
Faça a representação gráfica da série e responda:
(a) A função é par ou ímpar? Por quê?
(b) Qual o período fundamental?
© Determine a sua expansão em Série de Fourier.

Passo 1

Beleza! Vamos lá entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função periódica definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de . Nosso objetivo é:
a) Descobrir se essa função é par ou ímpar.
b) Encontrar o período fundamental da função.
c) Determinar a expansão dessa função em Série de Fourier.
Para resolver isso, vamos precisar lembrarmos sobre funções pares e ímpares, como identificar o período de uma função periódica, e entender o básico de séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar se a função é par ou ímpar.
  • Função par:
  • Função ímpar:
Vamos calcular usando a definição da função.
Para no intervalo , temos .
Então, .
Agora, comparando com a definição original:
  • Para , .
Perceba que . Isso mostra que a função é par.

Passo 3

Agora, vamos determinar o período fundamental da função .
Período de uma função periódica é o menor valor positivo tal que para todo .
Observando a definição de , vemos que ela se repete a cada intervalo de comprimento (de a ).
Portanto, o período fundamental é .

Passo 4

Finalmente, vamos encontrar a expansão em Série de Fourier da função .
Como é uma função par, sua série de Fourier conterá apenas termos de cosseno (série de Fourier para funções pares).
A fórmula geral da série de Fourier para uma função par com período é:
Onde os coeficientes e são dados por:
Vamos calcular e :
Cálculo de :
Resolvendo as integrais:
Após calcular, encontramos .
Cálculo de :
Devido à simetria par da função, podemos simplificar o cálculo:
Resolvendo essa integral, obtemos:
Portanto, a série de Fourier da função é:

Resposta

a) A função é par porque .
b) O período fundamental é .
c) A expansão em Série de Fourier de é:

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Para a função a seguir esboce seu gráfico para alguns valores de . Observando este gráfico determine se a função é ou não periódica. Caso seja determine seu periodo fundamental e sua frequência fundamental.
Responda as seguintes perguntas abaixo: O que é um problema de valor inicial e de contorno (ou fronteira)?
Calcule o comprimento exato da curva, no intervalo indicado:
Calcule os limites usando a Regra de L