Beleza! Vamos lá entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função periódica definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de . Nosso objetivo é:
a) Descobrir se essa função é par ou ímpar.
b) Encontrar o período fundamental da função.
c) Determinar a expansão dessa função em Série de Fourier.
Para resolver isso, vamos precisar lembrarmos sobre funções pares e ímpares, como identificar o período de uma função periódica, e entender o básico de séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar se a função é par ou ímpar.
Função par:
Função ímpar:
Vamos calcular usando a definição da função.
Para no intervalo , temos .
Então, .
Agora, comparando com a definição original:
Para , .
Perceba que . Isso mostra que a função é par.
Passo 3
Agora, vamos determinar o período fundamental da função .
Período de uma função periódica é o menor valor positivo tal que para todo .
Observando a definição de , vemos que ela se repete a cada intervalo de comprimento (de a ).
Portanto, o período fundamental é .
Passo 4
Finalmente, vamos encontrar a expansão em Série de Fourier da função .
Como é uma função par, sua série de Fourier conterá apenas termos de cosseno (série de Fourier para funções pares).
A fórmula geral da série de Fourier para uma função par com período é:
Onde os coeficientes e são dados por:
Vamos calcular e :
Cálculo de :
Resolvendo as integrais:
Após calcular, encontramos .
Cálculo de :
Devido à simetria par da função, podemos simplificar o cálculo: