Uma Função F: R --> R*+ é tal que F(a+b) = f(a).f(b) e F(1)=9 Calcular:
a) F(2)
b)F(0)
c) F(1/2)Respostas:
A = 81B= 1C=3
a) F(2)
b)F(0)
c) F(1/2)Respostas:
A = 81B= 1C=3
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função $ F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^* $ que satisfaz a condição $ F(a + b) = F(a) \cdot F(b) $ e sabemos que $ F(1) = 9 $. Nosso objetivo é calcular $ F(2) $, $ F(0) $ e $ F\left(\frac{1}{2}\right) $.
Nesse exercício, estamos lidando com funções exponenciais e equações funcionais. Vamos precisar entender como essas funções se comportam e usar propriedades básicas de exponenciais para resolver os itens.
Passo 2
Vamos começar calculando $ F(2) $. Sabemos que $ 2 $ pode ser escrito como $ 1 + 1 $. Usando a propriedade dada da função:
Sabemos que $ F(1) = 9 $, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular $ F(0) $. Para isso, vamos usar uma propriedade interessante das funções exponenciais. Sabemos que:
Isso nos dá a equação:
Para resolver essa equação, podemos subtrair $ F(0) $ de ambos os lados:
Isso significa que ou $ F(0) = 0 $ ou $ F(0) = 1 $. No entanto, como a função mapeia para $ \mathbb{R}^* $ (números reais positivos), $ F(0) = 0 $ não é válido. Portanto:
Passo 4
Por fim, vamos calcular $ F\left(\frac{1}{2}\right) $. Sabemos que $ 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} $. Aplicando a propriedade da função:
Sabendo que $ F(1) = 9 $:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
a) $ F(2) = 81 $
b) $ F(0) = 1 $
c) $ F\left(\frac{1}{2}\right) = 3 $
b) $ F(0) = 1 $
c) $ F\left(\frac{1}{2}\right) = 3 $