Uma Função F: R --> R*+ é tal que F(a+b) = f(a).f(b) e F(1)=9 Calcular:
a) F(2)
b)F(0)
c) F(1/2)Respostas:
A = 81B= 1C=3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função $ F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^* $ que satisfaz a condição $ F(a + b) = F(a) \cdot F(b) $ e sabemos que $ F(1) = 9 $. Nosso objetivo é calcular $ F(2) $, $ F(0) $ e $ F\left(\frac{1}{2}\right) $.
Nesse exercício, estamos lidando com funções exponenciais e equações funcionais. Vamos precisar entender como essas funções se comportam e usar propriedades básicas de exponenciais para resolver os itens.

Passo 2

Vamos começar calculando $ F(2) $. Sabemos que $ 2 $ pode ser escrito como $ 1 + 1 $. Usando a propriedade dada da função:
F(2)
Sabemos que $ F(1) = 9 $, então:
2

Passo 3

Agora, vamos calcular $ F(0) $. Para isso, vamos usar uma propriedade interessante das funções exponenciais. Sabemos que:
F(0)
Isso nos dá a equação:
F(0) = F(0 + 0) = F(0) cdot F(0)
Para resolver essa equação, podemos subtrair $ F(0) $ de ambos os lados:
F(0) = [F(0)]^2
Isso significa que ou $ F(0) = 0 $ ou $ F(0) = 1 $. No entanto, como a função mapeia para $ \mathbb{R}^* $ (números reais positivos), $ F(0) = 0 $ não é válido. Portanto:
F(0)

Passo 4

Por fim, vamos calcular $ F\left(\frac{1}{2}\right) $. Sabemos que $ 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} $. Aplicando a propriedade da função:
F(12)
Sabendo que $ F(1) = 9 $:
1 = 12 + 12
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
F(1) = F(12 + 12) = F(12) cdot F(12) = [F(12)]^2

Resposta

a) $ F(2) = 81 $
b) $ F(0) = 1 $
c) $ F\left(\frac{1}{2}\right) = 3 $

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