Se a função com valores vetoriais e a função com valores reais forem ambas deriváveis em um intervalo e no intervalo, prove que também será derivável no intervalo e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, se temos duas funções diferenciáveis em um intervalo – uma função vetorial e uma função escalar que nunca é zero nesse intervalo –, então a divisão dessas duas funções, , também é diferenciável. Para resolver isso, vamos usar o regra do quociente na derivação. Vamos precisar lembrar como aplicar essa regra tanto para funções escalares quanto para funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tem uma derivada nesse ponto, ou seja, se existe a inclinação da tangente naquele ponto. No nosso caso, como e são diferenciáveis no intervalo, sabemos que elas têm derivadas lá.
Passo 3
Agora, vamos focar na função que queremos derivar: . Como ela é uma divisão de duas funções, vamos aplicar a regra do quociente. A regra do quociente nos diz que se temos uma função , então sua derivada é dada por:
Passo 4
Aplicando essa regra ao nosso caso, onde e , temos:
Passo 5
Pronto! Com isso, mostramos que a derivada de é igual a , assumindo que no intervalo.