Se a função com valores vetoriais sigma e a função com valores reais f forem ambas deriváveis em um intervalo e f(t) != 0 no intervalo, prove que sigma / f também será derivável no intervalo e
d/dt [sigma(t)/f(t)] = (f(t) sigma'(t) - f'(t) sigma(t)) / (f(t)^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, se temos duas funções diferenciáveis em um intervalo – uma função vetorial sigma(t) e uma função escalar f(t) que nunca é zero nesse intervalo –, então a divisão dessas duas funções, , também é diferenciável. Para resolver isso, vamos usar o regra do quociente na derivação. Vamos precisar lembrar como aplicar essa regra tanto para funções escalares quanto para funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tem uma derivada nesse ponto, ou seja, se existe a inclinação da tangente naquele ponto. No nosso caso, como sigma(t) e f(t) são diferenciáveis no intervalo, sabemos que elas têm derivadas lá.

Passo 3

Agora, vamos focar na função que queremos derivar: . Como ela é uma divisão de duas funções, vamos aplicar a regra do quociente. A regra do quociente nos diz que se temos uma função , então sua derivada é dada por:

Passo 4

Aplicando essa regra ao nosso caso, onde e , temos:

Passo 5

Pronto! Com isso, mostramos que a derivada de é igual a , assumindo que f(t) != 0 no intervalo.

Resposta

d/dt [sigma(t)/f(t)] = (f(t) sigma'(t) - f'(t) sigma(t)) / (f(t)^2)

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