Encontre a distância percorrida por um percevejo em um pneu de bicicleta se o raio do pneu for 50 cm e a bicicleta percorrer uma distância de 5 pi m. (Sugestão: a trajetória do percevejo é uma ciclóide.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir a distância que um percevejo percorre quando está num pneu de bicicleta. A bicicleta tem um raio de pneu de 50 cm e percorre uma distância de metros. A pista é que a trajetória do percevejo é uma ciclóide, que é um tipo de curva que aparece quando um ponto em um círculo rola sem deslizar.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para metros para facilitar os cálculos. O raio do pneu é de 50 cm, que é igual a 0,5 metros.

Passo 3

Agora, precisamos saber quantas rotações o pneu faz para a bicicleta percorrer metros. Sabemos que a distância percorrida por uma rotação completa é a circunferência do pneu, que é .
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Para percorrer metros:
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Então, o pneu dá 5 rotações completas.

Passo 4

Agora, vamos analisar a trajetória do percevejo. Quando o pneu rola sem deslizar, o percevejo segue uma ciclóide. A dist��ncia percorrida pelo percevejo é o comprimento da curva da ciclóide para um certo número de rotações.
A fórmula do comprimento de arco de uma ciclóide para um ângulo é:
Mas como estamos lidando com rotações completas, podemos simplificar. Sabemos que em uma rotação completa ( ), o comprimento da ciclóide é .
Então, para cada rotação completa, o percevejo percorre metros.

Passo 5

Como o pneu dá 5 rotações completas, a distância total percorrida pelo percevejo é:
Substituindo :

Resposta

O percevejo percorre 20 metros numa distância de metros percorridos pela bicicleta.

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