Encontre a distância percorrida por um percevejo em um pneu de bicicleta se o raio do pneu for 50 cm e a bicicleta percorrer uma distância de
. (Sugestão: a trajetória do percevejo é uma ciclóide.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir a distância que um percevejo percorre quando está num pneu de bicicleta. A bicicleta tem um raio de pneu de 50 cm e percorre uma distância de
metros. A pista é que a trajetória do percevejo é uma ciclóide, que é um tipo de curva que aparece quando um ponto em um círculo rola sem deslizar.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para metros para facilitar os cálculos. O raio do pneu é de 50 cm, que é igual a 0,5 metros.
Passo 3
Agora, precisamos saber quantas rotações o pneu faz para a bicicleta percorrer
metros. Sabemos que a distância percorrida por uma rotação completa é a circunferência do pneu, que é
.
Para percorrer
metros:
Então, o pneu dá 5 rotações completas.
Passo 4
Agora, vamos analisar a trajetória do percevejo. Quando o pneu rola sem deslizar, o percevejo segue uma ciclóide. A dist��ncia percorrida pelo percevejo é o comprimento da curva da ciclóide para um certo número de rotações.
A fórmula do comprimento de arco de uma ciclóide para um ângulo
é:
Mas como estamos lidando com rotações completas, podemos simplificar. Sabemos que em uma rotação completa (
), o comprimento da ciclóide é
.
Então, para cada rotação completa, o percevejo percorre
metros.
Passo 5
Como o pneu dá 5 rotações completas, a distância total percorrida pelo percevejo é:
Substituindo
:
Resposta
O percevejo percorre 20 metros numa distância de
metros percorridos pela bicicleta.
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Encontre as equações paramétricas de
tendo
como um parâmetro, onde
é o comprimento de arco medido a partir do ponto onde
.
Se a função com valores vetoriais
e a função com valores reais
forem ambas deriváveis em um intervalo e
no intervalo, prove que
também será derivável no intervalo e
Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.
d) .
d)
encontre
e
. Faça um esboço de uma parte da curva em
e trace as representações de
e
tendo como ponto inicial
.