Suponha que as equações paramétricas da curva sejam
Encontre as equações paramétricas de tendo como um parâmetro, onde é o comprimento de arco medido a partir do ponto onde .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pelas equações paramétricas e , onde . O objetivo é encontrar novas equações paramétricas para essa curva, usando como parâmetro, onde representa o comprimento do arco a partir do ponto onde .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre parametrização por comprimento de arco e como relacionar o parâmetro com . Vamos seguir passo a passo para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o comprimento de arco de uma curva parametrizada por pode ser encontrado integrando a velocidade ao longo de . A velocidade é dada pela derivada das coordenadas em relação a :
Vamos calcular e :
Agora, substituímos na fórmula da velocidade:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o comprimento de arco desde até um valor qualquer :
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo na integral:
Integrando :
Então:
Passo 4
Agora, temos a relação entre e :
Queremos expressar em termos de . Vamos isolar :
Elevando ambos os lados ao :
Isolando :
Passo 5
Agora que temos em termos de , podemos substituir esse valor nas equações originais para e :