circledast Suponha que as equações paramétricas da curva C sejam
x = t³ e y = t² ; t ≥ 0
Encontre as equações paramétricas de C tendo s como um parâmetro, onde s é o comprimento de arco medido a partir do ponto onde t = 0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pelas equações paramétricas e , onde . O objetivo é encontrar novas equações paramétricas para essa curva, usando como parâmetro, onde representa o comprimento do arco a partir do ponto onde .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre parametrização por comprimento de arco e como relacionar o parâmetro com . Vamos seguir passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o comprimento de arco de uma curva parametrizada por pode ser encontrado integrando a velocidade ao longo de . A velocidade é dada pela derivada das coordenadas em relação a :
Vamos calcular e :
Agora, substituímos na fórmula da velocidade:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o comprimento de arco desde até um valor qualquer :
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo na integral:
Integrando :
Então:

Passo 4

Agora, temos a relação entre e :
Queremos expressar em termos de . Vamos isolar :
Elevando ambos os lados ao :
Isolando :

Passo 5

Agora que temos em termos de , podemos substituir esse valor nas equações originais para e :

Resposta

As equações paramétricas de em termos de são:

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