Os funcionários de uma empresa passam uma média de 32 minutos dirigindo por dia, com desvio padrão de 3 minutos. Você seleciona aleatoriamente 9 funcionários da empresa. Diante disso, assinale a alternativa correta que apresenta qual é a probabilidade de que a média de tempo que eles passam dirigindo todos os dias para o trabalho seja entre 30 e 34 minutos.
A. 91,45%.
B. 99,99%.
C. 98,17%.
D. 95,44%
e. 88,17%
A. 91,45%.
B. 99,99%.
C. 98,17%.
D. 95,44%
e. 88,17%
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde funcionários de uma empresa dirigem, em média, 32 minutos por dia, com um desvio padrão de 3 minutos. A questão quer saber qual a probabilidade de que, em uma amostra de 9 funcionários escolhidos aleatoriamente, a média de tempo que eles passam dirigindo fique entre 30 e 34 minutos. Vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Teorema Central do Limite pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa entender a média da amostra. A média populacional é 32 minutos, e essa será também a média da distribuição das médias das amostras devido ao Teorema Central do Limite.
Passo 3
Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é o desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra. A fórmula é:
Então, o erro padrão é 1 minuto.
Passo 4
Com a média da amostra sendo 32 e o erro padrão sendo 1, a distribuição das médias das amostras segue uma Distribuição Normal com média 32 e desvio padrão 1. A gente quer saber a probabilidade de a média estar entre 30 e 34 minutos.
Passo 5
Vamos padronizar esses valores para usar a tabela da Distribuição Normal Padrão (Z). A fórmula para padronizar é:
Para 30 minutos:
Para 34 minutos:
Passo 6
Agora, queremos encontrar a probabilidade de Z estar entre -2 e 2. Usando a tabela Z, a probabilidade de Z ser menor que 2 é aproximadamente 97,72%, e a de ser menor que -2 é cerca de 2,28%. Então, a probabilidade entre -2 e 2 é:
Resposta
A probabilidade de a média de tempo que os 9 funcionários passam dirigindo estar entre 30 e 34 minutos é 95,44%, que corresponde à alternativa D.