Para a Função f(x)= x²-4x+3, determine:
a) a concavidade;
b) os zeros;
c) as coordenadas do vértice (máximo ou mínimo).
a) a concavidade;
b) os zeros;
c) as coordenadas do vértice (máximo ou mínimo).
Passo 1
Beleza! A gente vai analisar a função $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $. O que precisamos descobrir aqui são três coisas: a concavidade da parábola, os pontos onde a função cruza o eixo x (os zeros) e as coordenadas do vértice, que pode ser um ponto de máximo ou mínimo. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra, especialmente sobre funções quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a concavidade da parábola. A concavidade diz se a parábola está “abrindo para cima” ou “para baixo”. Isso depende do coeficiente do termo $ x^2 $ na função quadrática.
Na função $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $, o coeficiente de $ x^2 $ é 1, que é positivo. Quando o coeficiente de $ x^2 $ é positivo, a parábola abre para cima. Isso significa que o vértice será o ponto mais baixo da parábola, ou seja, um ponto de mínimo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os zeros da função, ou seja, os valores de $ x $ que fazem $ f(x) = 0 $.
Temos:
Podemos resolver essa equação quadrática fatorando:
Assim, os zeros são:
Portanto, a função cruza o eixo x nos pontos $ x = 1 $ e $ x = 3 $.
Passo 4
Por fim, vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola. Para uma função quadrática na forma $ f(x) = ax^2 + bx + c $, as coordenadas do vértice $ (h, k) $ podem ser encontradas usando as fórmulas:
Na nossa função, $ a = 1 $ e $ b = -4 $. Então:
Agora, calculamos $ k $:
Portanto, o vértice está no ponto $ (2, -1) $, que é o ponto de mínimo da função.
Resposta
a) A concavidade é para cima;
b) Os zeros da função são $ x = 1 $ e $ x = 3 $;
c) As coordenadas do vértice são $ (2, -1) $.
b) Os zeros da função são $ x = 1 $ e $ x = 3 $;
c) As coordenadas do vértice são $ (2, -1) $.