Funções da forma cos (n pi x / L) podem ser usadas para modelar as funções de onda de elétrons em metais. Mostre que as funções cos (n pi x / L) e cos (m pi x / L), com n neq m , são ortogonais para uma partícula confinada à região 0 <= x <= L.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que as funções cos(n pi xL) e cos(m pi xL) são ortogonais quando n é diferente de m, no intervalo de 0 a L. Isso está relacionado ao estudo das funções de onda dos elétrons em metais, usando trigonometria e cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem ortogonais. No contexto de funções, duas funções f(x) e g(x) são ortogonais no intervalo [a, b] se o integral do produto delas nesse intervalo for zero. Matemáticamente, isso é escrito como:
integrala^b f(x) g(x) , dx = 0

Passo 3

Agora, aplicando isso às nossas funções cos(n pi xL) e cos(m pi xL), queremos calcular o integral:
integral0^L cos(n pi xL) cos(m pi xL) dx

Passo 4

Para resolver esse integral, podemos usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de cossenos em uma soma:
cos A cos B = 12 [cos(A - B) + cos(A + B)]
Aplicando isso, temos:
cos(n pi xL) cos(m pi xL) = 12 [ cos((n - m)pi xL) + cos((n + m)pi xL) ]
Então, o integral fica:
12 integral0^L cos((n - m)pi xL) + cos((n + m)pi xL) dx

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Para cos((n - m)pi xL):
integral0^L cos((n - m)pi xL) dx = L(n - m)pi sin((n - m)pi xL) |0^L = 0
Porque sin(kpi) = 0 para qualquer inteiro k.
  1. Para cos((n + m)pi xL):
integral0^L cos((n + m)pi xL) dx = L(n + m)pi sin((n + m)pi xL) |0^L = 0
Novamente, porque sin(kpi) = 0.
Portanto, o integral total é:
12 (0 + 0) = 0

Resposta

As funções cos(n pi xL) e cos(m pi xL), com n neq m, são ortogonais no intervalo 0 <= x <= L.

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