A função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio é
. Calcule (a) a energia potencial média e (b) a energia cinética média de um elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente tem que calcular duas coisas para o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio usando a função de onda dada. Os tópicos que vamos usar são mecânica quântica e energia potencial e cinética média. Precisaremos entender como calcular valores esperados usando integrais envolvendo a função de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função de onda
representa. Ela descreve a probabilidade de encontrar o elétron em uma certa posição ao redor do núcleo. A função dada é:
Aqui,
é o raio de Bohr, uma constante que caracteriza o tamanho do átomo de hidrogênio no seu estado fundamental.
Passo 3
Para calcular a energia potencial média (
), usamos a fórmula:
Onde:
-
é o complexo conjugado de (neste caso, é real, então ). -
é a energia potencial, que para o hidrogênio é dada por:
-
é o elemento de volume em coordenadas esféricas:
Passo 4
Vamos simplificar a integral da energia potencial média. Devido à simetria esférica, a integração nas coordenadas angulares (
e
) resulta em um fator
. Assim, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos
pela expressão da função de onda ao quadrado:
Portanto:
Passo 6
Calculamos a integral:
Fazendo a substituição
, , a integral se torna:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão para
:
Passo 8
Agora, vamos calcular a energia cinética média (
). Na mecânica quântica, a energia cinética é dada por:
Onde:
-
é a constante de Dirac reduzida. -
é a massa do elétron. -
é o operador laplaciano.
Passo 9
Devido à simetria esférica da função de onda, o operador laplaciano em coordenadas esféricas simplifica para:
Calculando as derivadas necessárias:
Portanto:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão para
:
Simplificando:
Passo 11
Usando resultados conhecidos para o estado fundamental do átomo de hidrogênio:
Substituindo:
Resposta
A energia potencial média do elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio é
e a energia cinética média é
.