A função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio é psi=(1 / pi a0^3)^1 / 2 e^-r / a0. Calcule (a) a energia potencial média e (b) a energia cinética média de um elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente tem que calcular duas coisas para o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio usando a função de onda dada. Os tópicos que vamos usar são mecânica quântica e energia potencial e cinética média. Precisaremos entender como calcular valores esperados usando integrais envolvendo a função de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função de onda psi representa. Ela descreve a probabilidade de encontrar o elétron em uma certa posição ao redor do núcleo. A função dada é:
psi = (1pi a0^3)^1/2 e^-r / a0
Aqui, a0 é o raio de Bohr, uma constante que caracteriza o tamanho do átomo de hidrogênio no seu estado fundamental.

Passo 3

Para calcular a energia potencial média ( lang<= V rang<=), usamos a fórmula:
lang<= V rang<= = integral psi^* V(r) psi , dtau
Onde:
  • psi^* é o complexo conjugado de psi (neste caso, psi é real, então psi^* = psi).
  • V(r) é a energia potencial, que para o hidrogênio é dada por:
V(r) = -e^24pi varepsilon0 r
  • dtau é o elemento de volume em coordenadas esféricas: dtau = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi

Passo 4

Vamos simplificar a integral da energia potencial média. Devido à simetria esférica, a integração nas coordenadas angulares ( theta e phi) resulta em um fator 4pi. Assim, temos:
lang<= V rang<= = -e^24pi varepsilon0 cdot 4pi integral0^infty |psi|^2r r^2 dr
Simplificando:
lang<= V rang<= = -e^2varepsilon0 integral0^infty |psi|^2 r , dr

Passo 5

Agora, substituímos |psi|^2 pela expressão da função de onda ao quadrado:
|psi|^2 = 1pi a0^3 e^-2r / a0
Portanto:
lang<= V rang<= = -e^2varepsilon0 pi a0^3 integral0^infty e^-2r / a0 r , dr

Passo 6

Calculamos a integral:
integral0^infty e^-2r / a0 r , dr
Fazendo a substituição x = 2r/a0, , a integral se torna:
dx = 2/dr^a0

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para lang<= V rang<=:
lang<= V rang<= = -e^2varepsilon0 pi a0^3 cdot a0^24 = -e^24 varepsilon0 pi a0

Passo 8

Agora, vamos calcular a energia cinética média ( lang<= K rang<=). Na mecânica quântica, a energia cinética é dada por:
lang<= K rang<= = -hbar^22m integral psi^* nabla^2 psi , dtau
Onde:
  • hbar é a constante de Dirac reduzida.
  • m é a massa do elétron.
  • nabla^2 é o operador laplaciano.

Passo 9

Devido à simetria esférica da função de onda, o operador laplaciano em coordenadas esféricas simplifica para:
nabla^2 psi = 1r^2 ddr( r^2 dpsidr )
Calculando as derivadas necessárias:
dpsidr = -1a0 psi
ddr( r^2 dpsidr ) = ddr ( -r^2a0 psi ) = -2ra0 psi + r^2a0^2 psi
Portanto:
nabla^2 psi = -2a0 r psi + ra0^2 psi

Passo 10

Substituindo de volta na expressão para lang<= K rang<=:
lang<= K rang<= = -hbar^22m integral psi ( -2a0 r psi + ra0^2 psi ) dtau
Simplificando:
lang<= K rang<= = hbar^22m ( 2a0 lang<= 1r rang<= - 1a0^2 lang<= r rang<= )

Passo 11

Usando resultados conhecidos para o estado fundamental do átomo de hidrogênio:
lang<= 1r rang<= = 1a0
lang<= r rang<= = 32 a0
Substituindo:
lang<= K rang<= = hbar^22m ( 2a0 cdot 1a0 - 1a0^2 cdot 32 a0 ) = hbar^22m a0^2 ( 2 - 32 ) = hbar^24m a0^2

Resposta

A energia potencial média do elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio é lang<= V rang<= = -dfrace^24 varepsilon0 pi a0 e a energia cinética média é lang<= K rang<= = dfrachbar^24m a0^2.

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