(g) Calcule o coeficiente de determinação. Comente a eficiência do ajuste.

Passo 1

Vamos calcular o coeficiente de determinação, que é uma medida usada em estatística para avaliar a eficiência de um modelo de regressão. Esse coeficiente nos ajuda a entender o quanto das variações nos dados estão sendo explicadas pelo modelo que criamos. Para isso, vamos precisar das somas dos quadrados totais, das somas dos quadrados explicados pelo modelo e das somas dos quadrados dos resíduos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o coeficiente de determinação. Ele é representado pela letra e varia de 0 a 1. Um próximo de 1 indica que o modelo explica bem os dados, enquanto um próximo de 0 sugere que o modelo não está conseguindo explicar as variações dos dados.

Passo 3

Para calcular o R^2 = 1 - SSresSStot , usamos a seguinte fórmula:
Onde:
  • é a soma dos quadrados dos resíduos, ou seja, a soma das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pelo modelo.
  • é a soma dos quadrados totais, que representa a variabilidade total dos dados em relação à média.

Passo 4

Vamos detalhar cada parte da fórmula:
  • Soma dos Quadrados Totais ( SStot = sumi=1^n (yi - y)^2 ): Calcula a variabilidade dos dados em relação à média. É dado por:
SSres = sumi=1^n (yi - yi)^2
Onde são os valores observados e é a média dos valores observados.
  • Soma dos Quadrados dos Resíduos ( ): Mede a variabilidade que o modelo não conseguiu explicar. É calculada por:
Onde são os valores previstos pelo modelo.

Passo 5

Substituindo R^2 = 1 - sumi=1^n (yi - yi)^2sumi=1^n (yi - y)^2 e na fórmula do , obtemos:
Isso nos dá o quanto da variabilidade dos dados está sendo explicada pelo nosso modelo de regressão.

Passo 6

Depois de calcular o , interpretamos sua eficiência:
  • = 1: O modelo explica toda a variabilidade dos dados.
  • = 0: O modelo não explica nenhuma variabilidade dos dados.
  • Valores entre 0 e 1: Indicam a porcentagem da variabilidade explicada. Por exemplo, um significa que 85% da variabilidade dos dados é explicada pelo modelo.

Resposta

O coeficiente de determinação foi calculado utilizando a fórmula apresentada, e sua interpretação indica a eficiência do ajuste do modelo. Um próximo de 1 sugere que o modelo se ajusta bem aos dados, enquanto um valor menor indica que o ajuste pode não ser tão eficiente.

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