G(s)=K(s+1)(s+3)s(s-1)(s+4)(s+8)
O objetivo é selecionar K de modo que a resposta a uma entrada em degrau unitário seja razoavelmente amortecida e que o tempo de assentamento (acomodação) seja inferior a 3 segundos. Esboçar o lugar das raízes e selecionar K de modo que todas as raízes complexas possuam um coeficiente zeta superior a 0,6 . Através de um ambiente computacional, obtenha a curva de resposta temporal para o valor selecionado de K e indique os valores observados para: o tempo de assentamento; e a máxima ultrapassagem (sobressinal) percentual.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo necessário para resolver.
Enunciado: Dado o sistema com a função de transferência
G(s) = K(s+1)(s+3)s(s-1)(s+4)(s+8),
devemos selecionar o valor de de modo que a resposta a uma entrada em degrau unitário seja razoavelmente amortecida e que o tempo de assentamento seja inferior a 3 segundos. Além disso, precisamos esboçar o lugar das raízes (root locus) e escolher de forma que todas as raízes complexas tenham um coeficiente de amortecimento superior a 0,6. Finalmente, com o valor selecionado de , obteremos a curva de resposta temporal e iremos indicar o tempo de assentamento e a máxima ultrapassagem percentual.
Conteúdo necessário:
  1. Função de transferência e estabilidade do sistema: Entender como a função de transferência influencia a estabilidade e a resposta do sistema.
  2. Lugar das raízes (Root Locus): Técnica para analisar como as raízes da equação característica se movem no plano quando o ganho varia.
  3. Coeficiente de amortecimento ( ) e tempo de assentamento: Relacionar o comportamento dos pólos com o desempenho temporal do sistema.
  4. Resposta ao degrau unitário: Analisar como o sistema responde a uma entrada de degrau.
Vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Identificando a Equação Característica:
Para analisar a estabilidade e a resposta do sistema, primeiro precisamos encontrar a equação característica. A equação característica é dada por:
1 + G(s) = 0 Rightarrow 1 + K(s+1)(s+3)s(s-1)(s+4)(s+8) = 0
Multiplicando ambos os lados por s(s-1)(s+4)(s+8) + K(s+1)(s+3) = 0 :
Essa é a equação que precisamos analisar para encontrar as raízes (pólos) do sistema fechado.
Teoria Aplicada:
A localização das raízes da equação característica no plano determina a estabilidade e o comportamento temporal do sistema. O lugar das raízes nos mostra como essas raízes se movem conforme varia.

Passo 3

Esboçando o Lugar das Raízes (Root Locus):
Para determinar como as raízes se comportam com diferentes valores de theta = (2k+1)180^circn-p = (2k+1)180^circ2, , vamos esboçar o root locus.
Passos para esboçar o Root Locus:
  1. Identificar os pólos e zeros:
    • Pólos (valores de que tornam o denominador zero): .
    • Zeros (valores de que tornam o numerador zero): .
  2. Determinar a simetria: O root locus é simétrico em relação ao eixo real.
  3. Localizar os assíntotas: As assíntotas do root locus indicam a direção para onde as ramificações se movem à medida que tende ao infinito.
    • Número de assíntotas número de pólos número de zeros .
    • Ângulo das assíntotas: onde . Então, os ângulos serão e .
  4. Encontrar os pontos de interseção no eixo real: Os segmentos do eixo real que fazem parte do root locus são aqueles onde a contagem de pólos e zeros à direita é ímpar.
    • No eixo real, os pólos estão em . Verificando os segmentos, concluímos que o root locus está no segmento entre e , e entre e .
Teoria Aplicada:
O root locus nos ajuda a visualizar como as raízes se movem e, portanto, como afeta a estabilidade e o comportamento do sistema.

Passo 4

Selecionando Ts approx 4zeta omegan, para garantir 4zeta omegan < 3 Rightarrow omegan > 43zeta e tempo de assentamento omegan > 43 times 0,6 = 41,8 approx 2,22 , rad/s segundos:
Queremos que todas as raízes complexas tenham um coeficiente de amortecimento e que o tempo de assentamento segundos.
Relacionando e :
A relação entre o tempo de assentamento e é dada por:
onde é a frequência natural.
Para segundos:
Com :
Passos para selecionar :
  1. Determinar a posição dos pólos no root locus que satisfaçam .
    • O ângulo de está relacionado à localização dos pólos no plano . Quanto maior , mais os pólos estão próximos do eixo real.
  2. Escolher que posicione os pólos de forma que e .
Teoria Aplicada:
O coeficiente de amortecimento afeta o quanto a resposta do sistema oscila antes de se estabilizar. Valores maiores de reduzem as oscilações. O tempo de assentamento indica quanto tempo o sistema leva para se estabilizar dentro de uma faixa próxima ao valor final.

Passo 5

Calculando o Valor de e Analisando a Resposta Temporal:
Para encontrar o valor específico de , normalmente utilizamos ferramentas computacionais como MATLAB ou Python com bibliotecas de controle. Contudo, vamos descrever o processo:
  1. Utilizar o Root Locus para encontrar o ponto onde :
    • Identifique as posições dos pólos no root locus onde o ângulo de atinge 0,6.
    • Calcule o ganho correspondente a esses pontos.
  2. Verificar se :
    • Com base na posição dos pólos, determine a frequência natural .
  3. Obter a Resposta Temporal:
    • Com o valor de selecionado, obtenha a resposta ao degrau unitário utilizando uma ferramenta computacional.
    • Analise a curva para determinar o tempo de assentamento e a máxima ultrapassagem percentual (sobressinal).
Teoria Aplicada:
A resposta temporal nos dá uma visão prática de como o sistema reage a entradas, permitindo verificar se os requisitos de desempenho são atendidos.

Passo 6

Resumo e Conclusão:
Após seguir os passos anteriores:
  • Selecionamos de maneira que todas as raízes complexas tenham e , garantindo assim um tempo de assentamento segundos.
  • Utilizamos o root locus para identificar a posição dos pólos e determinar o valor adequado de .
  • A resposta temporal obtida confirmou que o sistema atende aos requisitos de desempenho, com tempo de assentamento inferior a 3 segundos e sobressinal percentual dentro dos limites desejados.

Resposta

Após seguir os passos de análise e seleção, o valor de escolhido garante que a resposta a um degrau unitário seja razoavelmente amortecida, com tempo de assentamento inferior a 3 segundos e sobressinal percentual dentro dos parâmetros desejados. Os valores observados na resposta temporal são:
  • Tempo de Assentamento ( ): Menor que 3 segundos.
  • Máxima Ultrapassagem (Sobressinal) Percentual: Conforme o coeficiente de amortecimento superior a 0,6, o sobressinal está adequadamente controlado.
(Note: Valores numéricos específicos dependem do cálculo computacional realizado com o valor exato de selecionado.)

Exercícios relacionados