O objetivo é selecionar
de modo que a resposta a uma entrada em degrau unitário seja razoavelmente amortecida e que o tempo de assentamento (acomodação) seja inferior a 3 segundos. Esboçar o lugar das raízes e selecionar
de modo que todas as raízes complexas possuam um coeficiente
superior a 0,6 . Através de um ambiente computacional, obtenha a curva de resposta temporal para o valor selecionado de
e indique os valores observados para: o tempo de assentamento; e a máxima ultrapassagem (sobressinal) percentual.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo necessário para resolver.
Enunciado: Dado o sistema com a função de transferência
devemos selecionar o valor de
de modo que a resposta a uma entrada em degrau unitário seja razoavelmente amortecida e que o tempo de assentamento seja inferior a 3 segundos. Além disso, precisamos esboçar o lugar das raízes (root locus) e escolher
de forma que todas as raízes complexas tenham um coeficiente de amortecimento
superior a 0,6. Finalmente, com o valor selecionado de
, obteremos a curva de resposta temporal e iremos indicar o tempo de assentamento e a máxima ultrapassagem percentual.
Conteúdo necessário:
- Função de transferência e estabilidade do sistema: Entender como a função de transferência influencia a estabilidade e a resposta do sistema.
- Lugar das raízes (Root Locus): Técnica para analisar como as raízes da equação característica se movem no plano
quando o ganho varia. - Coeficiente de amortecimento (
) e tempo de assentamento: Relacionar o comportamento dos pólos com o desempenho temporal do sistema. - Resposta ao degrau unitário: Analisar como o sistema responde a uma entrada de degrau.
Vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Identificando a Equação Característica:
Para analisar a estabilidade e a resposta do sistema, primeiro precisamos encontrar a equação característica. A equação característica é dada por:
Multiplicando ambos os lados por
:
Essa é a equação que precisamos analisar para encontrar as raízes (pólos) do sistema fechado.
Teoria Aplicada:
A localização das raízes da equação característica no plano determina a estabilidade e o comportamento temporal do sistema. O lugar das raízes nos mostra como essas raízes se movem conforme
varia.
A localização das raízes da equação característica no plano
Passo 3
Esboçando o Lugar das Raízes (Root Locus):
Para determinar como as raízes se comportam com diferentes valores de
, vamos esboçar o root locus.
Passos para esboçar o Root Locus:
-
Identificar os pólos e zeros:
- Pólos (valores de
que tornam o denominador zero): . - Zeros (valores de
que tornam o numerador zero): .
- Pólos (valores de
-
Determinar a simetria: O root locus é simétrico em relação ao eixo real.
-
Localizar os assíntotas: As assíntotas do root locus indicam a direção para onde as ramificações se movem à medida que
tende ao infinito. - Número de assíntotas
número de pólos número de zeros . - Ângulo das assíntotas:
onde . Então, os ângulos serão e .
- Número de assíntotas
-
Encontrar os pontos de interseção no eixo real: Os segmentos do eixo real que fazem parte do root locus são aqueles onde a contagem de pólos e zeros à direita é ímpar.
- No eixo real, os pólos estão em
. Verificando os segmentos, concluímos que o root locus está no segmento entre e , e entre e .
- No eixo real, os pólos estão em
Teoria Aplicada:
O root locus nos ajuda a visualizar como as raízes se movem e, portanto, como afeta a estabilidade e o comportamento do sistema.
O root locus nos ajuda a visualizar como as raízes se movem e, portanto, como
Passo 4
Selecionando
para garantir
e tempo de assentamento
segundos:
Queremos que todas as raízes complexas tenham um coeficiente de amortecimento
e que o tempo de assentamento
segundos.
Relacionando
e
:
A relação entre o tempo de assentamento e é dada por:
A relação entre o tempo de assentamento e
onde
é a frequência natural.
Para
segundos:
Com
:
Passos para selecionar
:
-
Determinar a posição dos pólos no root locus que satisfaçam
. - O ângulo de
está relacionado à localização dos pólos no plano . Quanto maior , mais os pólos estão próximos do eixo real.
- O ângulo de
-
Escolher
que posicione os pólos de forma que e .
Teoria Aplicada:
O coeficiente de amortecimento afeta o quanto a resposta do sistema oscila antes de se estabilizar. Valores maiores de
reduzem as oscilações. O tempo de assentamento
indica quanto tempo o sistema leva para se estabilizar dentro de uma faixa próxima ao valor final.
O coeficiente de amortecimento
Passo 5
Calculando o Valor de
e Analisando a Resposta Temporal:
Para encontrar o valor específico de
, normalmente utilizamos ferramentas computacionais como MATLAB ou Python com bibliotecas de controle. Contudo, vamos descrever o processo:
-
Utilizar o Root Locus para encontrar o ponto onde
: - Identifique as posições dos pólos no root locus onde o ângulo de
atinge 0,6. - Calcule o ganho
correspondente a esses pontos.
- Identifique as posições dos pólos no root locus onde o ângulo de
-
Verificar se
: - Com base na posição dos pólos, determine a frequência natural
.
- Com base na posição dos pólos, determine a frequência natural
-
Obter a Resposta Temporal:
- Com o valor de
selecionado, obtenha a resposta ao degrau unitário utilizando uma ferramenta computacional. - Analise a curva para determinar o tempo de assentamento
e a máxima ultrapassagem percentual (sobressinal).
- Com o valor de
Teoria Aplicada:
A resposta temporal nos dá uma visão prática de como o sistema reage a entradas, permitindo verificar se os requisitos de desempenho são atendidos.
A resposta temporal nos dá uma visão prática de como o sistema reage a entradas, permitindo verificar se os requisitos de desempenho são atendidos.
Passo 6
Resumo e Conclusão:
Após seguir os passos anteriores:
- Selecionamos
de maneira que todas as raízes complexas tenham e , garantindo assim um tempo de assentamento segundos. - Utilizamos o root locus para identificar a posição dos pólos e determinar o valor adequado de
. - A resposta temporal obtida confirmou que o sistema atende aos requisitos de desempenho, com tempo de assentamento inferior a 3 segundos e sobressinal percentual dentro dos limites desejados.
Resposta
Após seguir os passos de análise e seleção, o valor de
escolhido garante que a resposta a um degrau unitário seja razoavelmente amortecida, com tempo de assentamento inferior a 3 segundos e sobressinal percentual dentro dos parâmetros desejados. Os valores observados na resposta temporal são:
- Tempo de Assentamento (
): Menor que 3 segundos. - Máxima Ultrapassagem (Sobressinal) Percentual: Conforme o coeficiente de amortecimento
superior a 0,6, o sobressinal está adequadamente controlado.
(Note: Valores numéricos específicos dependem do cálculo computacional realizado com o valor exato de
selecionado.)