G(s)=[(1+p) s-p](s^2+4 s+10)
Utilize o MATLAB/SCILAB/PYTHON para traçar o diagrama lugar das raízes à medida que p varia: 0. Quais são os valores de p que resultam em um sistema estável em malha fechada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a estabilidade de um sistema de controle representado pela função de transferência:
G(s)=(1+p)s - ps^2+4s+10
A matéria envolvida aqui é a Análise de Sistemas de Controle, especificamente o Diagrama de Lugar das Raízes (ou Root Locus). Para resolver isso, vamos precisar entender como o parâmetro afeta as raízes do denominador da função de transferência em malha fechada e determinar para quais valores de o sistema permanece estável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a estabilidade de um sistema de controle está relacionada às posições das raízes do denominador da função de transferência em malha fechada no plano T(s) = G(s)1 + G(s) . Se todas as raízes tiverem partes reais negativas, o sistema é estável.
Vamos reescrever a função de transferência em malha fechada. Em sistemas de malha fechada com realimentação unitária, a função de transferência em malha fechada T(s) = (1+p)s - ps^2+4s+101 + (1+p)s - ps^2+4s+10 = (1+p)s - ps^2 + 4s + 10 + (1+p)s - p é dada por:
s^2 + 4s + 10 + (1+p)s - p = s^2 + (4 + 1 + p)s + (10 - p) = s^2 + (5 + p)s + (10 - p)
Então, substituindo T(s) = (1+p)s - ps^2 + (5 + p)s + (10 - p) :
Simplificando o denominador:
Portanto, a função de transferência em malha fechada fica:

Passo 3

Agora, para determinar a estabilidade, vamos analisar o denominador da função de transferência em malha fechada:
s^2 + (5 + p)s + (10 - p) = 0
As raízes dessa equação são os polos do sistema em malha fechada. Queremos que ambas as raízes tenham partes reais negativas.
Para isso, podemos usar os Critérios de Estabilidade de Routh-Hurwitz. Para um polinômio de segunda ordem , o sistema é estável se:
Aplicando isso ao nosso denominador:
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (termo constante)
Agora, vamos aplicar as condições:
  1. → Sempre satisfeito.

Passo 4

Como 0 < p < 10 está variando de a ( ), vamos considerar as condições para esse intervalo.
A segunda condição já é satisfeita, pois é positivo. A terceira condição, , então, combinando com :
Portanto, para entre 0 e 10, o sistema será estável, pois todas as condições de Routh-Hurwitz são atendidas, garantindo que as raízes do denominador tenham partes reais negativas.

Resposta

Os valores de 0 < p < 10 que resultam em um sistema estável em malha fechada são aqueles compreendidos entre 0 e 10, ou seja:

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