Utilize o MATLAB/SCILAB/PYTHON para traçar o diagrama lugar das raízes à medida que
varia:
. Quais são os valores de
que resultam em um sistema estável em malha fechada?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a estabilidade de um sistema de controle representado pela função de transferência:
A matéria envolvida aqui é a Análise de Sistemas de Controle, especificamente o Diagrama de Lugar das Raízes (ou Root Locus). Para resolver isso, vamos precisar entender como o parâmetro
afeta as raízes do denominador da função de transferência em malha fechada e determinar para quais valores de
o sistema permanece estável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a estabilidade de um sistema de controle está relacionada às posições das raízes do denominador da função de transferência em malha fechada no plano
. Se todas as raízes tiverem partes reais negativas, o sistema é estável.
Vamos reescrever a função de transferência em malha fechada. Em sistemas de malha fechada com realimentação unitária, a função de transferência em malha fechada
é dada por:
Então, substituindo
:
Simplificando o denominador:
Portanto, a função de transferência em malha fechada fica:
Passo 3
Agora, para determinar a estabilidade, vamos analisar o denominador da função de transferência em malha fechada:
As raízes dessa equação são os polos do sistema em malha fechada. Queremos que ambas as raízes tenham partes reais negativas.
Para isso, podemos usar os Critérios de Estabilidade de Routh-Hurwitz. Para um polinômio de segunda ordem
, o sistema é estável se:
Aplicando isso ao nosso denominador:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(termo constante)
Agora, vamos aplicar as condições:
-
→ Sempre satisfeito. -
→ -
→
Passo 4
Como
está variando de
a
(
), vamos considerar as condições para esse intervalo.
A segunda condição
já é satisfeita, pois
é positivo. A terceira condição,
, então, combinando com
:
Portanto, para
entre 0 e 10, o sistema será estável, pois todas as condições de Routh-Hurwitz são atendidas, garantindo que as raízes do denominador tenham partes reais negativas.
Resposta
Os valores de
que resultam em um sistema estável em malha fechada são aqueles compreendidos entre 0 e 10, ou seja: