Um sistema com realimentação unitária possui uma FTMA dada por G(s)=1000(s+8)(s+7)(s+9).
(a) O sistema é estável em malha fechada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema com realimentação unitária, ou seja, a saída é alimentada de volta para a entrada sem ganho (ganho unitário). A função de transferência de malha aberta (FTMA) é dada por . Nosso objetivo aqui é verificar se o sistema é estável em malha fechada. Para isso, vamos precisar entender de estabilidade de sistemas de controle e como determinar isso usando a função de transferência.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a estabilidade de um sistema de malha fechada depende dos polos da função de transferência em malha fechada. Se todos os polos tiverem partes reais negativas (ou seja, estiverem no semiplano esquerdo do plano complexo), o sistema será estável.
Para achar a função de transferência em malha fechada (FTMC), usamos a seguinte fórmula para sistemas de realimentação unitária:
H(s) = G(s)1 + G(s)
Então, vamos substituir na equação.

Passo 3

Substituindo H(s) = 1000(s+8)(s+7)(s+9)1 + 1000(s+8)(s+7)(s+9) na fórmula da FTMC:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar a análise dos polos.

Passo 4

Simplificando o denominador:
1 + 1000(s+8)(s+7)(s+9) = (s+7)(s+9) + 1000(s+8)(s+7)(s+9)
Então, a função de transferência em malha fechada fica:
H(s) = 1000(s+8)(s+7)(s+9) + 1000(s+8)

Passo 5

Vamos expandir o denominador para obter a equação característica do sistema:
(s+7)(s+9) + 1000(s+8) = s^2 + 16s + 63 + 1000s + 8000 = s^2 + 1016s + 8063
Então, a função de transferência em malha fechada é:
H(s) = 1000(s+8)s^2 + 1016s + 8063

Passo 6

Agora, para verificar a estabilidade, precisamos encontrar os polos, ou seja, as raízes do denominador:
s^2 + 1016s + 8063 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
s = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde , , e .

Passo 7

Calculando o discriminante ( De):
Como o discriminante é positivo e grande, isso indica que temos duas raízes reais distintas.

Passo 8

Agora, calculando as raízes:
s = -1016 pm raiz1,000,0042 = -1016 pm 1000.0022
Então,
s1 = -1016 + 1000.0022 = -15.9982 approx -8.0
s2 = -1016 - 1000.0022 = -2016.0022 approx -1008.0

Passo 9

As duas raízes dos polos são e . Ambas têm partes reais negativas, o que significa que estão no semiplano esquerdo do plano s.

Resposta

Sim, o sistema é estável em malha fechada, pois todos os polos da função de transferência em malha fechada têm partes reais negativas.

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