Um sistema com realimentação unitária possui uma FTMA dada por
.
(a) O sistema é estável em malha fechada?
(a) O sistema é estável em malha fechada?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema com realimentação unitária, ou seja, a saída é alimentada de volta para a entrada sem ganho (ganho unitário). A função de transferência de malha aberta (FTMA) é dada por
. Nosso objetivo aqui é verificar se o sistema é estável em malha fechada. Para isso, vamos precisar entender de estabilidade de sistemas de controle e como determinar isso usando a função de transferência.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a estabilidade de um sistema de malha fechada depende dos polos da função de transferência em malha fechada. Se todos os polos tiverem partes reais negativas (ou seja, estiverem no semiplano esquerdo do plano complexo), o sistema será estável.
Para achar a função de transferência em malha fechada (FTMC), usamos a seguinte fórmula para sistemas de realimentação unitária:
Então, vamos substituir
na equação.
Passo 3
Substituindo
na fórmula da FTMC:
Vamos simplificar essa expressão para facilitar a análise dos polos.
Passo 4
Simplificando o denominador:
Então, a função de transferência em malha fechada fica:
Passo 5
Vamos expandir o denominador para obter a equação característica do sistema:
Então, a função de transferência em malha fechada é:
Passo 6
Agora, para verificar a estabilidade, precisamos encontrar os polos, ou seja, as raízes do denominador:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Passo 7
Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é positivo e grande, isso indica que temos duas raízes reais distintas.
Passo 8
Agora, calculando as raízes:
Então,
Passo 9
As duas raízes dos polos são
e
. Ambas têm partes reais negativas, o que significa que estão no semiplano esquerdo do plano s.
Resposta
Sim, o sistema é estável em malha fechada, pois todos os polos da função de transferência em malha fechada têm partes reais negativas.