Qual deve ser o tamanho da amostra para que o intervalo com 99,5% de confiança para a média populacional tenha uma semi amplitude não superior a 1,5 ? Sabe-se que a variância populacional é de 23 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir qual deve ser o tamanho da amostra necessário para que, com 99,5% de confiança, o intervalo para a média da população tenha uma semi-amplitude de no máximo 1,5. A gente vai usar conceitos de estatística, mais especificamente de intervalo de confiança para a média. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula que relaciona o tamanho da amostra, o desvio padrão, a confiança desejada e a margem de erro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é semi-amplitude. A semi-amplitude é metade da largura do intervalo de confiança. No caso, a semi-amplitude máxima que queremos é 1,5. Ou seja, a margem de erro (E) será 1,5.

Passo 3

Sabemos que a variância populacional é 23. Para usar a fórmula, precisamos do desvio padrão (σ), que é a raiz quadrada da variância. Então:
sigma = raiz23 approx 4,796

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor crítico correspondente a um nível de confiança de 99,5%. Esse valor diz quantos desvios padrões a margem de erro está afastada da média. Para 99,5% de confiança, é aproximadamente 2,807. Esse valor pode ser encontrado em tabelas de distribuição normal ou usando uma calculadora estatística.

Passo 5

Com todos os valores em mãos, podemos usar a fórmula para calcular o tamanho da amostra (n):
n = ( Z cdot sigmaE )^2
Substituindo os valores:
n = ( 2,807 cdot 4,7961,5 )^2

Passo 6

Vamos calcular passo a passo:
  1. Multiplicar 2,807 times 4,796 approx 13,487 pela 13,4871,5 approx 8,991 :
(8,991)^2 approx 80,832
  1. Dividir pelo erro :
  1. Elevar ao quadrado para encontrar :

Resposta

Portanto, o tamanho da amostra necessário é aproximadamente 81.

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