Qual deve ser o tamanho da amostra para que o intervalo com 99,5% de confiança para a média populacional tenha uma semi amplitude não superior a 1,5 ? Sabe-se que a variância populacional é de 23 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir qual deve ser o tamanho da amostra necessário para que, com 99,5% de confiança, o intervalo para a média da população tenha uma semi-amplitude de no máximo 1,5. A gente vai usar conceitos de estatística, mais especificamente de intervalo de confiança para a média. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula que relaciona o tamanho da amostra, o desvio padrão, a confiança desejada e a margem de erro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é semi-amplitude. A semi-amplitude é metade da largura do intervalo de confiança. No caso, a semi-amplitude máxima que queremos é 1,5. Ou seja, a margem de erro (E) será 1,5.
Passo 3
Sabemos que a variância populacional é 23. Para usar a fórmula, precisamos do desvio padrão (σ), que é a raiz quadrada da variância. Então:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor crítico
correspondente a um nível de confiança de 99,5%. Esse valor
diz quantos desvios padrões a margem de erro está afastada da média. Para 99,5% de confiança,
é aproximadamente 2,807. Esse valor pode ser encontrado em tabelas de distribuição normal ou usando uma calculadora estatística.
Passo 5
Com todos os valores em mãos, podemos usar a fórmula para calcular o tamanho da amostra (n):
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos calcular passo a passo:
- Multiplicar
pela :
- Dividir pelo erro
:
- Elevar ao quadrado para encontrar
:
Resposta
Portanto, o tamanho da amostra necessário é aproximadamente 81.