Teste a hipótese de que o conteúdo médio de recipientes de certo lubrificante é dez litros, se os conteúdos de uma amostra aleatória são: 10,2 - 9,7 - 10,1 - 10,3 - 10,1 - 9,8 - 9,9 - 10,4 10,3 - 9,8 litros. Use o nível de significância 0,01 e assuma que a distribuição dos conteúdos dos recipientes é normal

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema passo a passo. A gente precisa testar se a quantidade média de líquido nos recipientes desse lubrificante é realmente 10 litros. Para isso, vamos usar teste de hipóteses, mais especificamente o teste t de Student, já que estamos trabalhando com uma amostra pequena e não conhecemos o desvio padrão da população. Vamos precisar calcular a média e o desvio padrão da amostra para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados da amostra:
10,2; 9,7; 10,1; 10,3; 10,1; 9,8; 9,9; 10,4; 10,3; 9,8
Agora, vamos calcular a média da amostra:
barx = sum xin
Onde sum xi = 10,2 + 9,7 + 10,1 + 10,3 + 10,1 + 9,8 + 9,9 + 10,4 + 10,3 + 9,8 = 99,0 é a soma de todos os valores e barx = 99,010 = 9,9 é o número de observações.
Calculando:
Então, a média da amostra é 9,9 litros.

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra. A fórmula é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Vamos calcular cada (10,2 - 9,9)^2 = 0,09 :
(9,7 - 9,9)^2 = 0,04
(10,1 - 9,9)^2 = 0,04
(10,3 - 9,9)^2 = 0,16
(10,1 - 9,9)^2 = 0,04
(9,8 - 9,9)^2 = 0,01
(9,9 - 9,9)^2 = 0,00
(10,4 - 9,9)^2 = 0,25
(10,3 - 9,9)^2 = 0,16
(9,8 - 9,9)^2 = 0,01
sum (xi - barx)^2 = 0,09 + 0,04 + 0,04 + 0,16 + 0,04 + 0,01 + 0,00 + 0,25 + 0,16 + 0,01 = 0,80
Somando esses valores:
s = raiz0,8010 - 1 = raiz0,809 approx raiz0,0889 approx 0,298 litros
Agora, calculamos o desvio padrão:
Então, o desvio padrão da amostra é aproximadamente 0,298 litros.

Passo 4

Vamos formular as hipóteses:
  • Hipótese nula ( ): litros (a média é 10 litros)
  • Hipótese alternativa ( ): litros (a média é diferente de 10 litros)
Estamos usando um teste bilateral porque queremos verificar se a média é diferente, seja maior ou menor que 10 litros.

Passo 5

Agora, vamos calcular o estatístico de teste usando a fórmula do teste t:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
  • t = 9,9 - 100,298 / raiz10 = -0,10,0942 approx -1,061 litros
  • litros
  • litros
Substituindo os valores:
Então, o valor do t calculado é aproximadamente -1,061.

Passo 6

Vamos determinar o valor crítico para o nosso teste. Como o nível de significância é e estamos com um teste bilateral, dividimos esse valor por 2 para cada cauda: .
Com graus de liberdade, consultando a tabela t de Student, encontramos que o valor crítico é aproximadamente í.

Passo 7

Agora, comparamos o valor calculado de t com o valor crítico:
-1,061 > -3,250 e 1,061 < 3,250
Como o valor calculado de t está dentro do intervalo a , não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidências suficientes para rejeitar a hipótese de que a média dos conteúdos dos recipientes é de 10 litros ao nível de significância de 0,01.

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