Um garçom ganha um salário fixo por mês mais gorjetas diárias. Como regra, ele se propôs a cada dia do mês guardar um pouco do que ganha de gorjetas para fazer uma reserva financeira, que é depositada no banco ao fim do dia 30, exceto em fevereiro. No dia 1, ele guarda R$ 1,00; no dia 2, guarda R$ 2,00; no dia 3, R$ 3,00, e assim, sucessivamente, até que no dia 30, ele junta R$ 30,00 ao que vinha guardando e faz o depósito. Em um determinado mês de 30 dias, ele precisou gastar tudo que havia juntado até o fim do dia 15, mas quis repor esse gasto. Para isso, guardou do dia 16 até o dia 30 um valor fixo de x reais por dia, de modo que, no fim do mês, depositou a mesma quantia que vinha depositando todos os meses, exceto em fevereiro. Qual é o valor de x?

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um garçom que guarda uma quantia fixa por dia de gorjeta para fazer uma reserva financeira ao final do mês. Normalmente, ele guarda R$1 no dia 1, R$2 no dia 2, e assim por diante, até R$30 no dia 30, totalizando uma reserva no fim do mês. Porém, neste mês específico, ele gastou todo o que havia guardado até o dia 15 e precisa repor esse valor. Para fazer isso, ele decide guardar uma quantia fixa, chamada x, de R$16 a R$30. Queremos descobrir qual deve ser o valor de x para que, ao final do mês, a reserva seja igual àquela que ele faz normalmente. Vamos precisar usar conceitos de progressão aritmética e somas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quanto o garçom normalmente guarda no mês inteiro sem nenhum gasto. Como ele guarda R$1 no dia 1, R$2 no dia 2, até R$30 no dia 30, temos uma progressão aritmética onde:
  • Primeiro termo (a₁) = 1
  • Último termo (aₙ) = 30
  • Número de termos (n) = 30
A soma dos termos de uma progressão aritmética é dada pela fórmula:
1 no dia 1, R
Aplicando os valores:
30 no dia 30, temos uma progressão aritmética onde: - Primeiro termo (a₁) = 1 - Ú
Então, normalmente, o garçom guarda um total de R$465 no mês.

Passo 3

Neste mês específico, o garçom gastou tudo o que havia guardado até o dia 15. Vamos calcular quanto ele havia guardado até esse dia.
Novamente, é uma progressão aritmética onde:
  • Primeiro termo (a₁) = 1
  • Último termo (aₙ) = 15
  • Número de termos (n) = 15
Usando a mesma fórmula:
S15 = 152 times (1 + 15) = 7,5 times 16 = 120
Então, até o dia 15, ele havia guardado R$120, que foi todo gasto.

Passo 4

Agora, ele precisa repor os R$120 gastos e continuar guardando normalmente de R$16 a R$30. Para isso, ele decide guardar uma quantia fixa x de R$16 a R$30, ou seja, por mais 15 dias.
Queremos que a soma total que ele guarde neste mês seja igual à soma normal de R$465. Já sabemos que ele precisa repor os R$120 gastos, então a soma que ele precisa guardar de R$16 a R$30 é:
120 gastos e continuar guardando normalmente de R

Passo 5

Vamos resolver a equação para encontrar o valor de x:
465 = 120 + 15x 465 - 120 = 15x 345 = 15x x = 34515 x = 23

Resposta

O valor de x é R$23,00 por dia.

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