A equação geral do plano π que passa pelo ponto A(2, 1, 5) e tem n=(3, -2, 2) como um vetor normal é:
a. 3x - 2y + 2z – 14 = 0
b. 3x - 2y + 2z – 12 = 0
c. 3x - 2y + 2z – 10 = 0
d. 3x - 2y + 2z + 14 = 0
e. 3x - 2y + 2z + 12 = 0
a. 3x - 2y + 2z – 14 = 0
b. 3x - 2y + 2z – 12 = 0
c. 3x - 2y + 2z – 10 = 0
d. 3x - 2y + 2z + 14 = 0
e. 3x - 2y + 2z + 12 = 0
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto A(2, 1, 5) e que tem o vetor normal n = (3, -2, 2). Vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre equações de planos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral da equação de um plano. Se tivermos um vetor normal n = (A, B, C) e um ponto P(x₀, y₀, z₀) que está no plano, a equação do plano pode ser escrita assim:
Esse é um jeito padrão de expressar a equação do plano usando um vetor normal e um ponto específico no plano.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores que temos:
-
O vetor normal n = (3, -2, 2), então:
- $ A = 3 $
- $ B = -2 $
- $ C = 2 $
-
O ponto pelo qual o plano passa é A(2, 1, 5), então:
- $ x_0 = 2 $
- $ y_0 = 1 $
- $ z_0 = 5 $
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula da equação do plano, temos:
Agora, vamos simplificar essa expressão para chegar à forma geral.
Passo 5
Vamos distribuir os coeficientes em cada termo:
Agora, somamos os termos constantes:
Passo 6
Finalmente, podemos reescrever a equação do plano de forma que todos os termos fiquem de um lado da igualdade:
Resposta
A equação correta do plano é a letra a. 3x - 2y + 2z – 14 = 0.