A equação geral do plano π que passa pelo ponto A(2, 1, 5) e tem n=(3, -2, 2) como um vetor normal é:
a. 3x - 2y + 2z – 14 = 0
b. 3x - 2y + 2z – 12 = 0
c. 3x - 2y + 2z – 10 = 0
d. 3x - 2y + 2z + 14 = 0
e. 3x - 2y + 2z + 12 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto A(2, 1, 5) e que tem o vetor normal n = (3, -2, 2). Vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre equações de planos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral da equação de um plano. Se tivermos um vetor normal n = (A, B, C) e um ponto P(x₀, y₀, z₀) que está no plano, a equação do plano pode ser escrita assim:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Esse é um jeito padrão de expressar a equação do plano usando um vetor normal e um ponto específico no plano.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que temos:
  • O vetor normal n = (3, -2, 2), então:
    • $ A = 3 $
    • $ B = -2 $
    • $ C = 2 $
  • O ponto pelo qual o plano passa é A(2, 1, 5), então:
    • $ x_0 = 2 $
    • $ y_0 = 1 $
    • $ z_0 = 5 $

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da equação do plano, temos:
3(x - 2) - 2(y - 1) + 2(z - 5) = 0
Agora, vamos simplificar essa expressão para chegar à forma geral.

Passo 5

Vamos distribuir os coeficientes em cada termo:
3x - 6 - 2y + 2 + 2z - 10 = 0
Agora, somamos os termos constantes:
3x - 2y + 2z - 14 = 0

Passo 6

Finalmente, podemos reescrever a equação do plano de forma que todos os termos fiquem de um lado da igualdade:
3x - 2y + 2z - 14 = 0

Resposta

A equação correta do plano é a letra a. 3x - 2y + 2z – 14 = 0.

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