Em uma garrafa de espumante, o bolsão de gás (dióxido de carbono, principalmente) que fica entre o líquido e a rolha está a uma pressão
. Quando a rolha é removida da garrada, o gás sofre uma expansão adiabática até que sua pressão se torne igual à pressão ambiente,
. Qual a razão entre os calores específicos molares do gás?
Passo 1
Estamos lidando com um problema de expansão adiabática de um gás, especificamente dióxido de carbono (CO₂). O enunciado nos dá a pressão inicial do gás na garrafa, $ p_i = 4,0 , atm $, e informa que, após a remoção da rolha, a pressão final do gás se iguala à pressão ambiente, $ p_f = 1,0 , atm $. Nosso objetivo é encontrar a razão entre os calores específicos molares do gás, ou seja, $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $.
Para resolver isso, vamos precisar aplicar os conceitos de termodinâmica relacionados aos processos adiabáticos e às propriedades dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um processo adiabático, não há transferência de calor entre o sistema e o ambiente. Isso implica que a relação entre a pressão e o volume do gás segue a equação:
Onde:
- $ p_i $ e $ p_f $ são as pressões inicial e final,
- $ V_i $ e $ V_f $ são os volumes inicial e final,
- $ \gamma $ é a razão dos calores específicos molares.
Passo 3
Como o processo é adiabático e estamos lidando com um gás ideal, podemos também usar a relação entre temperaturas e pressões:
Contudo, neste caso, não temos informações sobre as temperaturas, então vamos seguir outra abordagem usando os calores específicos.
Passo 4
Sabemos que a razão dos calores específicos $ \gamma $ está relacionada aos graus de liberdade do gás. Para um gás ideal, os calores específicos a pressão constante $ C_p $ e a volume constante $ C_v $ estão relacionados por:
Onde $ R $ é a constante dos gases ideais.
Passo 5
Os calores específicos também estão relacionados aos graus de liberdade $ f $ do gás:
Substituindo na equação de $ C_p $:
Passo 6
Então, a razão $ \gamma $ é:
Passo 7
Para o dióxido de carbono (CO₂), que é uma molécula linear, os graus de liberdade $ f $ são 5 (3 translacionais e 2 rotacionais).
Substituindo $ f = 5 $ na equação:
Resposta
A razão entre os calores específicos molares do gás é $ \gamma = 1,4 $.