Em uma garrafa de espumante, o bolsão de gás (dióxido de carbono, principalmente) que fica entre o líquido e a rolha está a uma pressão pi=4,0 atm. Quando a rolha é removida da garrada, o gás sofre uma expansão adiabática até que sua pressão se torne igual à pressão ambiente, 1,0 atm. Qual a razão entre os calores específicos molares do gás?

Passo 1

Estamos lidando com um problema de expansão adiabática de um gás, especificamente dióxido de carbono (CO₂). O enunciado nos dá a pressão inicial do gás na garrafa, $ p_i = 4,0 , atm $, e informa que, após a remoção da rolha, a pressão final do gás se iguala à pressão ambiente, $ p_f = 1,0 , atm $. Nosso objetivo é encontrar a razão entre os calores específicos molares do gás, ou seja, $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $.
Para resolver isso, vamos precisar aplicar os conceitos de termodinâmica relacionados aos processos adiabáticos e às propriedades dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um processo adiabático, não há transferência de calor entre o sistema e o ambiente. Isso implica que a relação entre a pressão e o volume do gás segue a equação:
pi Vi^gamma = pf Vf^gamma
Onde:
  • $ p_i $ e $ p_f $ são as pressões inicial e final,
  • $ V_i $ e $ V_f $ são os volumes inicial e final,
  • $ \gamma $ é a razão dos calores específicos molares.

Passo 3

Como o processo é adiabático e estamos lidando com um gás ideal, podemos também usar a relação entre temperaturas e pressões:
TiTf = ( pipf )^gamma - 1gamma
Contudo, neste caso, não temos informações sobre as temperaturas, então vamos seguir outra abordagem usando os calores específicos.

Passo 4

Sabemos que a razão dos calores específicos $ \gamma $ está relacionada aos graus de liberdade do gás. Para um gás ideal, os calores específicos a pressão constante $ C_p $ e a volume constante $ C_v $ estão relacionados por:
gamma
Onde $ R $ é a constante dos gases ideais.

Passo 5

Os calores específicos também estão relacionados aos graus de liberdade $ f $ do gás:
f
Substituindo na equação de $ C_p $:
Cv = f2 R

Passo 6

Então, a razão $ \gamma $ é:
gamma

Passo 7

Para o dióxido de carbono (CO₂), que é uma molécula linear, os graus de liberdade $ f $ são 5 (3 translacionais e 2 rotacionais).
Substituindo $ f = 5 $ na equação:
f

Resposta

A razão entre os calores específicos molares do gás é $ \gamma = 1,4 $.

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