Duas barras cilíndricas, uma de latão (de comprimento 20 cm ) e outra de cobre (com 80 cm de comprimento), são conectadas pelas extremidades. Ambas possuem uma seção reta de 0,006 m^2 e estão bem isoladas de maneira a não perder energia através das superfícies laterais. A extremidade livre da barra de latão está imersa em água fervente enquanto a extremidade livre da barra de cobre está numa mistura de água e gelo, ambas a uma pressão atmosférica. Dados: condutividade térmica do latão: 109 W / m cdot K, condutividade térmica do cobre: 401 W / m cdot K. Qual a massa de gelo que derrete em 5 minutos devido ao calor conduzido pelas barras?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conhecimentos precisamos usar. Temos duas barras cilíndricas, uma de latão e outra de cobre, conectadas nas extremidades. Uma das extremidades da barra de latão está em água fervente (bem quente) e a extremidade da barra de cobre está em uma mistura de água e gelo (bem fria). Queremos descobrir quanta massa de gelo derrete em 5 minutos por causa do calor que passa pelas barras.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e a fórmula do calor necessário para derreter o gelo. Precisaremos das condutividades térmicas das barras, suas dimensões e o tempo que o calor está sendo transferido.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as temperaturas envolvidas. A água fervente está a aproximadamente 100°C, e a mistura de água e gelo está a 0°C. Portanto, a diferença de temperatura (ΔT) é:
De

Passo 3

Agora, vamos calcular a quantidade de calor que passa pelas barras em 5 minutos. Para isso, usamos a Lei de Fourier para condução de calor, que é:
Q = k cdot A cdot De
Onde:
  • $ Q $ é o calor transferido,
  • $ k $ é a condutividade térmica,
  • $ A $ é a área da seção transversal,
  • $ \Delta T $ é a diferença de temperatura,
  • $ t $ é o tempo,
  • $ L $ é o comprimento da barra.
Mas como temos duas barras em série (latão e cobre), a transferência de calor pelo sistema se limita pela barra com maior resistência térmica. Para barras em série, a resistência térmica total ($ R_{total} $) é a soma das resistências individuais:
Q ãã
E o calor transferido é:
k

Passo 4

Vamos calcular a resistência térmica de cada barra:
Para o latão:
Rlatão = Llatãoklatão cdot A = 0,20,m109,Wm cdot K cdot 0,006,m^2 approx 0,3055,K/W ããã
Para o cobre:
Rcobre = Lcobrekcobre cdot A = 0,80,m401,Wm cdot K cdot 0,006,m^2 approx 0,3322,K/W
Então, a resistência total é:
Rtotal = 0,3055,K/W + 0,3322,K/W = 0,6377,K/W

Passo 5

Agora, vamos calcular o calor $ Q $ transferido em 5 minutos. Primeiro, convertemos o tempo para segundos porque a condutividade térmica está em $ W $:
Q
Usando a fórmula:
W

Passo 6

Finalmente, vamos relacionar o calor $ Q $ com a massa de gelo derretida. Usamos a fórmula do calor de fusão:
Q
Onde:
  • $ m $ é a massa de gelo,
  • $ L_f $ é o calor latente de fusão da água, que é aproximadamente 334.000 J/kg.
Rearranjando para encontrar $ m $:
Q = m cdot Lf

Resposta

A massa de gelo derretida em 5 minutos é aproximadamente 0,000845 kg.

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