Duas barras cilíndricas, uma de latão (de comprimento 20 cm ) e outra de cobre (com 80 cm de comprimento), são conectadas pelas extremidades. Ambas possuem uma seção reta de
e estão bem isoladas de maneira a não perder energia através das superfícies laterais. A extremidade livre da barra de latão está imersa em água fervente enquanto a extremidade livre da barra de cobre está numa mistura de água e gelo, ambas a uma pressão atmosférica. Dados: condutividade térmica do latão:
, condutividade térmica do cobre:
. Qual a massa de gelo que derrete em 5 minutos devido ao calor conduzido pelas barras?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conhecimentos precisamos usar. Temos duas barras cilíndricas, uma de latão e outra de cobre, conectadas nas extremidades. Uma das extremidades da barra de latão está em água fervente (bem quente) e a extremidade da barra de cobre está em uma mistura de água e gelo (bem fria). Queremos descobrir quanta massa de gelo derrete em 5 minutos por causa do calor que passa pelas barras.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e a fórmula do calor necessário para derreter o gelo. Precisaremos das condutividades térmicas das barras, suas dimensões e o tempo que o calor está sendo transferido.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as temperaturas envolvidas. A água fervente está a aproximadamente 100°C, e a mistura de água e gelo está a 0°C. Portanto, a diferença de temperatura (ΔT) é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a quantidade de calor que passa pelas barras em 5 minutos. Para isso, usamos a Lei de Fourier para condução de calor, que é:
Onde:
- $ Q $ é o calor transferido,
- $ k $ é a condutividade térmica,
- $ A $ é a área da seção transversal,
- $ \Delta T $ é a diferença de temperatura,
- $ t $ é o tempo,
- $ L $ é o comprimento da barra.
Mas como temos duas barras em série (latão e cobre), a transferência de calor pelo sistema se limita pela barra com maior resistência térmica. Para barras em série, a resistência térmica total ($ R_{total} $) é a soma das resistências individuais:
E o calor transferido é:
Passo 4
Vamos calcular a resistência térmica de cada barra:
Para o latão:
Para o cobre:
Então, a resistência total é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o calor $ Q $ transferido em 5 minutos. Primeiro, convertemos o tempo para segundos porque a condutividade térmica está em $ W $:
Usando a fórmula:
Passo 6
Finalmente, vamos relacionar o calor $ Q $ com a massa de gelo derretida. Usamos a fórmula do calor de fusão:
Onde:
- $ m $ é a massa de gelo,
- $ L_f $ é o calor latente de fusão da água, que é aproximadamente 334.000 J/kg.
Rearranjando para encontrar $ m $:
Resposta
A massa de gelo derretida em 5 minutos é aproximadamente 0,000845 kg.