Para um gás ideal prove que: ( 20 pontos)
De

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para provar uma expressão relacionada à variação de entropia ( De) para um gás ideal. Isso está na área de Termodinâmica, especificamente lidando com as propriedades dos gases ideais e como a entropia muda quando a temperatura e o volume do gás sofrem alterações. Para resolver isso, vamos precisar das equações de estado dos gases ideais e das definições de entropia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um gás ideal, a entropia S pode ser expressa em função da temperatura T e do volume V. A variação de entropia De entre dois estados pode ser calculada integrando as mudanças infinitesimais. A fórmula geral para a variação de entropia é:
De

Passo 3

Sabemos que a capacidade calorífica a volume constante CV está relacionada à derivada da entropia em relação à temperatura a volume constante:
( partial Spartial T )V = CVT
E a derivada da entropia em relação ao volume a temperatura constante é:
( partial Spartial V )T = RV
Aqui, R é a constante dos gases ideais.

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na expressão da variação de entropia:
De

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente. A primeira integral envolve a temperatura:
integralT0^T CVT dT = CV ln ( TT0 )
A segunda integral envolve o volume:
integralV0^V RV dV = R ln ( VV0 )

Passo 6

Juntando os resultados das integrais, temos:
De

Passo 7

Para simplificar a expressão, vamos dividir ambos os lados por R:
De

Passo 8

Observando que CVR pode ser denotado como CV^x, onde CV^x é a capacidade calorífica molar a volume constante por unidade da constante dos gases, temos:
De

Resposta

Portanto, provamos que para um gás ideal:
De

Exercícios relacionados