Para um gás ideal prove que: ( 20 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para provar uma expressão relacionada à variação de entropia (
) para um gás ideal. Isso está na área de Termodinâmica, especificamente lidando com as propriedades dos gases ideais e como a entropia muda quando a temperatura e o volume do gás sofrem alterações. Para resolver isso, vamos precisar das equações de estado dos gases ideais e das definições de entropia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um gás ideal, a entropia
pode ser expressa em função da temperatura
e do volume
. A variação de entropia
entre dois estados pode ser calculada integrando as mudanças infinitesimais. A fórmula geral para a variação de entropia é:
Passo 3
Sabemos que a capacidade calorífica a volume constante
está relacionada à derivada da entropia em relação à temperatura a volume constante:
E a derivada da entropia em relação ao volume a temperatura constante é:
Aqui,
é a constante dos gases ideais.
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na expressão da variação de entropia:
Passo 5
Vamos resolver cada integral separadamente. A primeira integral envolve a temperatura:
A segunda integral envolve o volume:
Passo 6
Juntando os resultados das integrais, temos:
Passo 7
Para simplificar a expressão, vamos dividir ambos os lados por
:
Passo 8
Observando que
pode ser denotado como
, onde
é a capacidade calorífica molar a volume constante por unidade da constante dos gases, temos:
Resposta
Portanto, provamos que para um gás ideal: