Um gás ideal sofre o seguinte ciclo reversível:
(i) uma expansão isobárica do estado (P1,V1) para o estado (
;
(ii) redução isocórica da pressão ao estado (P2,V2);
(iii) uma redução isobárica em volume para o estado (
);
(iv) aumento isocórico em pressão de volta ao estado original (P1, V1).
(a) Qual o trabalho é feito
sobre o gás neste ciclo?
(i) uma expansão isobárica do estado (P1,V1) para o estado (
(ii) redução isocórica da pressão ao estado (P2,V2);
(iii) uma redução isobárica em volume para o estado (
(iv) aumento isocórico em pressão de volta ao estado original (P1, V1).
(a) Qual o trabalho é feito
sobre o gás neste ciclo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de termodinâmica juntos! O enunciado fala sobre um ciclo reversível de um gás ideal que passa por quatro etapas: duas expansões e duas compressões, sendo duas delas a pressão constante (isobárica) e as outras duas a volume constante (isocórica). A gente vai precisar entender como calcular o trabalho em cada etapa desses processos para achar o trabalho total feito sobre o gás no ciclo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por ou sobre o gás em processos termodinâmicos depende do caminho percorrido no diagrama pressão-volume (PV). Para cada tipo de processo, temos uma fórmula específica:
- Processo Isobárico (pressão constante): O trabalho (W) é dado por
, onde é a variação de volume. - Processo Isocórico (volume constante): Não há trabalho realizado porque o volume não muda, então
.
Nossa missão é calcular o trabalho em cada um dos quatro processos e somar tudo para encontrar o trabalho total no ciclo.
Passo 3
Vamos identificar as etapas do ciclo e aplicar as fórmulas:
-
Expansão Isobárica (P1, V1) para (P1, V2):
- Como a pressão é constante (P1), o trabalho é:
- Aqui,
é a variação de volume nessa expansão.
- Como a pressão é constante (P1), o trabalho é:
-
Redução Isocórica (P1, V2) para (P2, V2):
- Como o volume é constante, o trabalho é:
- Como o volume é constante, o trabalho é:
-
Redução Isobárica (P2, V2) para (P2, V1):
- Pressão constante (P2), então o trabalho é:
- Note que
é negativo se , indicando trabalho sobre o gás.
- Pressão constante (P2), então o trabalho é:
-
Aumento Isocórico (P2, V1) para (P1, V1):
- Volume constante, então:
- Volume constante, então:
Passo 4
Agora, vamos somar todos os trabalhos para encontrar o trabalho total no ciclo:
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Resposta
O trabalho feito sobre o gás neste ciclo é
.