A geração volumétrica de calor na parede de uma esfera oca de alumínio com raios interno e externo de 20 cm e 50 cm , respectivamente, é dada por
Re=4.5 times 10^4(1+0.6 r^2)
Onde R está em W/m er, a coordenada radial medida em metros. A superfície interna da esfera é submetida a um fluxo uniforme de calor de 15000 W / m^2, enquanto calor é dissipado por convecção para o ar ambiente mantido a 25^circ C através da superfície externa com um coeficiente de convecção de 150 W / m^2 cdot K. Determine a temperatura da superfície externa em condições de regime permanente.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre transferência de calor em uma esfera oca de alumínio que está gerando calor no seu material. A gente vai usar conceitos de condução de calor com geração interna e condições de contorno por fluxo e convecção. Para resolver, vamos precisar das equações de condução de calor em coordenadas esféricas, entender como aplicar as condições de contorno e encontrar a temperatura na superfície externa em regime permanente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que temos: uma esfera oca de alumínio com raio interno de 20 cm (0,2 m) e raio externo de 50 cm (0,5 m). Dentro da parede da esfera, está sendo gerado calor de forma volumétrica, dado por:
Re = 4.5 times 10^4(1 + 0.6 r^2) , W/m^3
Além disso, na superfície interna, há um fluxo de calor uniforme de 15000 W/m², e na superfície externa, o calor é dissipado por convecção para o ar a 25°C com um coeficiente de convecção de 150 W/m²·K. Queremos encontrar a temperatura na superfície externa em regime permanente, ou seja, quando a temperatura não está mais variando com o tempo.

Passo 3

Vamos usar a equação de condução de calor em coordenadas esféricas com geração interna:
1r^2 ddr(r^2 dTdr) + Rek = 0
Aqui, $ T $ é a temperatura, $ r $ é a coordenada radial, $ \Re $ é a geração de calor volumétrica e $ k $ é a condutividade térmica do alumínio. Como estamos em regime permanente, não precisa nos preocuparmos com termos de tempo.

Passo 4

Vamos integrar essa equação passo a passo. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ r^2 $:
r^2
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ r $:
ddr(r^2 dTdr) = -Re r^2k
Onde $ C_1 $ é a constante de integração.

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Re = 4.5 times 10^4(1 + 0.6 r^2)
Então,
integral Re r^2 dr = 4.5 times 10^4 integral ( r^2 + 0.6 r^4 ) dr = 4.5 times 10^4 ( r^33 + 0.6 r^55 ) + C
Substituindo de volta:
r^2 dTdr = -4.5 times 10^4k ( r^33 + 0.6 r^55 ) + C1

Passo 6

Agora, dividimos ambos os lados por $ r^2 $:
r^2
Integramos novamente para encontrar $ T® $:
dTdr = -4.5 times 10^4k ( r3 + 0.6 r^35 ) + C1r^2
Onde $ C_2 $ é outra constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Condição 1 (na superfície interna, $ r = 0.2 $ m):
Há um fluxo de calor de 15000 W/m² entrando na superfície. O fluxo de calor $ q $ está relacionado ao gradiente de temperatura pela equação de Fourier:
C1
Então,
C2
Condição 2 (na superfície externa, $ r = 0.5 $ m):
O calor é dissipado por convecção para o ar a 25°C. A condição de contorno por convecção é:
r = 0.2
Onde $ h = 150 $ W/m²·K e $ T_{ext} $ é a temperatura na superfície externa que queremos encontrar.

Passo 8

Antes de continuar, precisamos saber a condutividade térmica $ k $ do alumínio. Vamos supor que $ k = 205 $ W/m·K (valor típico para alumínio).
Agora, vamos usar a condição 1 para encontrar $ C_1 $:
Na expressão de $ \frac{dT}{dr} $:
k
Em $ r = 0.2 $ m,
k = 205
Simplificando:
C1
Calculando os valores:
dTdr
dTdr = -4.5 times 10^4205 ( r3 + 0.6 r^35 ) + C1r^2
r = 0.2
Rearranjando:
15000 = -205 [ -4.5 times 10^4205 ( 0.23 + 0.6 (0.2)^35 ) + C1(0.2)^2 ]
15000 = 4.5 times 10^4 ( 0.23 + 0.6 times 0.0085 ) - C10.04 times 205

Passo 9

Agora, usamos a condição 2 para encontrar $ C_2 $. Sabemos que na superfície externa:
C2
Primeiro, vamos expressar $ \frac{dT}{dr} $ em $ r = 0.5 $:
-k dTdr |r=0.5 = 150 (Text - 25)
Calculando:
dTdr
r = 0.5
dTdr = -4.5 times 10^4205 ( 0.53 + 0.6 (0.5)^35 ) + -2.332(0.5)^2
Agora, aplicando na condição de contorno:
dTdr = -4.5 times 10^4205 ( 0.1667 + 0.015 ) + -2.3320.25
dTdr = -4.5 times 10^4205 times 0.1817 - 9.328
dTdr approx - 8190205 - 9.328 approx -39.95 - 9.328 approx -49.28 , K/m
-205 times (-49.28) = 150 (Text - 25)

Resposta

A temperatura da superfície externa da esfera em regime permanente é aproximadamente 92,36 °C.

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