A geração volumétrica de calor na parede de uma esfera oca de alumínio com raios interno e externo de 20 cm e 50 cm , respectivamente, é dada por
Onde R está em W/m er, a coordenada radial medida em metros. A superfície interna da esfera é submetida a um fluxo uniforme de calor de
, enquanto calor é dissipado por convecção para o ar ambiente mantido a
através da superfície externa com um coeficiente de convecção de
. Determine a temperatura da superfície externa em condições de regime permanente.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre transferência de calor em uma esfera oca de alumínio que está gerando calor no seu material. A gente vai usar conceitos de condução de calor com geração interna e condições de contorno por fluxo e convecção. Para resolver, vamos precisar das equações de condução de calor em coordenadas esféricas, entender como aplicar as condições de contorno e encontrar a temperatura na superfície externa em regime permanente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que temos: uma esfera oca de alumínio com raio interno de 20 cm (0,2 m) e raio externo de 50 cm (0,5 m). Dentro da parede da esfera, está sendo gerado calor de forma volumétrica, dado por:
Além disso, na superfície interna, há um fluxo de calor uniforme de 15000 W/m², e na superfície externa, o calor é dissipado por convecção para o ar a 25°C com um coeficiente de convecção de 150 W/m²·K. Queremos encontrar a temperatura na superfície externa em regime permanente, ou seja, quando a temperatura não está mais variando com o tempo.
Passo 3
Vamos usar a equação de condução de calor em coordenadas esféricas com geração interna:
Aqui, $ T $ é a temperatura, $ r $ é a coordenada radial, $ \Re $ é a geração de calor volumétrica e $ k $ é a condutividade térmica do alumínio. Como estamos em regime permanente, não precisa nos preocuparmos com termos de tempo.
Passo 4
Vamos integrar essa equação passo a passo. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ r^2 $:
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ r $:
Onde $ C_1 $ é a constante de integração.
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Então,
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, dividimos ambos os lados por $ r^2 $:
Integramos novamente para encontrar $ T® $:
Onde $ C_2 $ é outra constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Condição 1 (na superfície interna, $ r = 0.2 $ m):
Há um fluxo de calor de 15000 W/m² entrando na superfície. O fluxo de calor $ q $ está relacionado ao gradiente de temperatura pela equação de Fourier:
Então,
Condição 2 (na superfície externa, $ r = 0.5 $ m):
O calor é dissipado por convecção para o ar a 25°C. A condição de contorno por convecção é:
Onde $ h = 150 $ W/m²·K e $ T_{ext} $ é a temperatura na superfície externa que queremos encontrar.
Passo 8
Antes de continuar, precisamos saber a condutividade térmica $ k $ do alumínio. Vamos supor que $ k = 205 $ W/m·K (valor típico para alumínio).
Agora, vamos usar a condição 1 para encontrar $ C_1 $:
Na expressão de $ \frac{dT}{dr} $:
Em $ r = 0.2 $ m,
Simplificando:
Calculando os valores:
Rearranjando:
Passo 9
Agora, usamos a condição 2 para encontrar $ C_2 $. Sabemos que na superfície externa:
Primeiro, vamos expressar $ \frac{dT}{dr} $ em $ r = 0.5 $:
Calculando:
Agora, aplicando na condição de contorno:
Resposta
A temperatura da superfície externa da esfera em regime permanente é aproximadamente 92,36 °C.