Um gerador de sinais foi configurado para gerar uma onda quadrada com amplitude de 4 volts e frequência de 500 kHz , sendo conectado a um dos canais do osciloscópio. Foi proposta a seguinte montagem para estudar a constante de tempo. Sabemos que na tensão no capacitor durante a descarga é dada por
. Mostre que:
Onde
e
são as tensões na curva de descarga medidas nos instantes
e
respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gerador de sinais que cria uma onda quadrada com amplitude de 4 volts e frequência de 500 kHz, que está conectado a um osciloscópio. A ideia é estudar a constante de tempo (τ) de um circuito que envolve um capacitor. Para isso, vamos usar a fórmula que descreve como a tensão no capacitor diminui durante a descarga:
Nosso objetivo é mostrar que:
Onde $ V_{C1} $ e $ V_{C2} $ são as tensões medidas no capacitor nos instantes $ t_{1} $ e $ t_{2} $, respectivamente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da tensão no capacitor durante a descarga:
Aqui:
- $ V_{c}(t) $ é a tensão no capacitor no tempo $ t $.
- $ V_{0} $ é a tensão inicial no capacitor.
- $ \tau $ é a constante de tempo do circuito.
A constante de tempo $ \tau $ é importante porque nos diz quão rápido o capacitor está descarregando.
Passo 3
Vamos considerar dois momentos no tempo: $ t_{1} $ e $ t_{2} $. Nos respectivos instantes, as tensões no capacitor são $ V_{C1} $ e $ V_{C2} $.
Aplicando a fórmula da tensão no capacitor para cada instante:
Para $ t = t_{1} $:
Para $ t = t_{2} $:
Passo 4
Agora, queremos relacionar $ V_{C1} $ e $ V_{C2} $ para encontrar $ \tau $. Vamos dividir as duas equações:
Simplificando:
Passo 5
Para resolver para $ \tau $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Agora, isolando $ \tau $:
Resposta
Então, demonstramos que a constante de tempo $ \tau $ pode ser calculada usando os tempos $ t_{1} $ e $ t_{2} $ onde as tensões no capacitor são $ V_{C1} $ e $ V_{C2} $, respectivamente, da seguinte forma: