Um gerador de sinais foi configurado para gerar uma onda quadrada com amplitude de 4 volts e frequência de 500 kHz , sendo conectado a um dos canais do osciloscópio. Foi proposta a seguinte montagem para estudar a constante de tempo. Sabemos que na tensão no capacitor durante a descarga é dada por Vc(t)=V0 e^-t / tau. Mostre que:
tau=t2-t1ln (VC 1 / VC 2)
Onde VC 1 e VC 2 são as tensões na curva de descarga medidas nos instantes t1 e t2 respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gerador de sinais que cria uma onda quadrada com amplitude de 4 volts e frequência de 500 kHz, que está conectado a um osciloscópio. A ideia é estudar a constante de tempo (τ) de um circuito que envolve um capacitor. Para isso, vamos usar a fórmula que descreve como a tensão no capacitor diminui durante a descarga:
Vc(t) = V0 e^-t / tau
Nosso objetivo é mostrar que:
tau = t2 - t1ln (VC1VC2)
Onde $ V_{C1} $ e $ V_{C2} $ são as tensões medidas no capacitor nos instantes $ t_{1} $ e $ t_{2} $, respectivamente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da tensão no capacitor durante a descarga:
Vc(t) = V0 e^-t / tau
Aqui:
  • $ V_{c}(t) $ é a tensão no capacitor no tempo $ t $.
  • $ V_{0} $ é a tensão inicial no capacitor.
  • $ \tau $ é a constante de tempo do circuito.
A constante de tempo $ \tau $ é importante porque nos diz quão rápido o capacitor está descarregando.

Passo 3

Vamos considerar dois momentos no tempo: $ t_{1} $ e $ t_{2} $. Nos respectivos instantes, as tensões no capacitor são $ V_{C1} $ e $ V_{C2} $.
Aplicando a fórmula da tensão no capacitor para cada instante:
Para $ t = t_{1} $:
t1
Para $ t = t_{2} $:
t2

Passo 4

Agora, queremos relacionar $ V_{C1} $ e $ V_{C2} $ para encontrar $ \tau $. Vamos dividir as duas equações:
Simplificando:
VC1

Passo 5

Para resolver para $ \tau $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
tau
Agora, isolando $ \tau $:
ln(VC1VC2) = t2 - t1tau

Resposta

Então, demonstramos que a constante de tempo $ \tau $ pode ser calculada usando os tempos $ t_{1} $ e $ t_{2} $ onde as tensões no capacitor são $ V_{C1} $ e $ V_{C2} $, respectivamente, da seguinte forma:
tau

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