Suponha que a vida útil de certo tipo de equipamento tem distribuição exponencial, com média igual a 9.500 horas. Uma indústria adquiriu 120 unidades deste equipamento e pô-los em funcionamento. Qual é a probabilidade da média das vidas úteis destas 120 unidades. ser superior a 10.900 horas?
Lembrete: 0 desvio-padrão de uma VA com distribuição exponencial é igual ao seu valor esperado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre a vida útil de uns equipamentos que seguem uma distribuição exponencial. A média dessa vida é de 9.500 horas. A indústria comprou 120 desses equipamentos e quer saber qual a probabilidade de a média da vida útil desses 120 ser maior que 10.900 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, especificamente a distribuição normal e o Teorema Central do Limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma distribuição exponencial, o desvio-padrão é igual à média. Então, aqui a média (μ) é 9.500 horas e o desvio-padrão (σ) também é 9.500 horas.

Passo 3

A gente quer a média de 120 equipamentos. Quando temos uma média de várias observações, o Teorema Central do Limite diz que essa média seguirá uma distribuição aproximadamente normal, mesmo que a distribuição original não seja normal. Isso facilita nossa vida porque podemos usar a distribuição normal para calcular probabilidades.

Passo 4

Agora, vamos calcular o desvio-padrão da média, que chamamos de erro-padrão (σ_x̄). A fórmula é:
sigmax = sigmaraizn
Onde:
  • σ = 9.500
  • n = 120
Então:
sigmax = 9500raiz120 approx 950010.954 approx 867.32 horas

Passo 5

Queremos saber a probabilidade da média ser maior que 10.900 horas. Para isso, vamos calcular o valor z, que indica quantos desvios-padrão a nossa média está acima da média esperada. A fórmula do z é:
z = x - musigmax
Substituindo:
z = 10900 - 9500867.32 = 1400867.32 approx 1.616

Passo 6

Com o z calculado, vamos usar a tabela da distribuição normal para encontrar a probabilidade correspondente. O valor de z = 1.616 corresponde a uma probabilidade acumulada de aproximadamente 0.947. Mas como queremos a probabilidade de ser maior que 10.900 horas, precisamos calcular:
P(x > 10900) = 1 - P(x <= 10900) = 1 - 0.947 = 0.053

Resposta

A probabilidade da média das vidas úteis das 120 unidades ser superior a 10.900 horas é de aproximadamente 5,3%.

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