O gerente de vendas de uma loja de artigos de papelaria está realizando um estudo sobre o lucro gerado a partir da compra e venda de um novo produto. Sabe-se que o lucro dessa loja é dado pela diferença entre a receita e o custo de compra do produto, além disso, tem-se que todos os produtos comprados são vendidos. O custo de compra do produto em questão é dado pela função C(x) = 50x + 30, enquanto a receita é dada pela função R(x) = 90x, sendo x a quantidade de produtos vendidos. Assinale a alternativa que contém a quantidade de produtos que devem ser vendidos para que o lucro da loja seja de R$ 3970,00.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de lucro de uma loja de papelaria. A gente precisa entender como o lucro é calculado a partir da receita e do custo de compra. Vamos usar as funções dadas para o custo $ C(x) = 50x + 30 $ e a receita $ R(x) = 90x $, onde $ x $ é a quantidade de produtos vendidos. Nosso objetivo é descobrir quantos produtos precisam ser vendidos para que o lucro seja de R$ 3.970,00.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula do lucro. O lucro $ L(x) $ é igual à receita $ R(x) $ menos o custo $ C(x) $. Então, temos:
Passo 3
Substituindo as funções que a gente tem:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 4
Agora, sabemos que o lucro desejado é de R$ 3.970,00. Então, colocamos isso na equação:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar $ x $. Primeiro, somamos 30 em ambos os lados:
Passo 6
Agora, dividimos ambos os lados por 40 para isolar $ x $:
Resposta
A loja precisa vender 100 produtos para obter um lucro de R$ 3.970,00.