Em uma gincana escolar, participaram três equipes. A equipe vencedora dessa gincana fez o quadrado de pontos da equipe que ficou em 3º lugar. Já a equipe que ficou em 2º lugar fez o quádruplo de pontos da equipe que ficou em 3º lugar. Nessa gincana, a soma da pontuação das equipes que ficaram em 1º e 2º lugar foi igual a 140 pontos e nenhuma das equipes participantes teve pontuação negativa. Qual foi a pontuação da equipe que ficou em 1º lugar nessa gincana?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma gincana com três equipes. A equipe que ganhou fez o quadrado dos pontos da equipe que ficou em 3º lugar. A equipe de 2º lugar fez quatro vezes os pontos da equipe de 3º lugar. Além disso, a soma das pontuações das equipes de 1º e 2º lugar deu 140 pontos. Para resolver esse problema, vamos usar álgebra básica e trabalhar com equações.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma variável para simplificar. Seja $ x $ a pontuação da equipe que ficou em 3º lugar. Então, conforme o enunciado:
  • A equipe de 2º lugar fez quatro vezes os pontos da equipe de 3º lugar, ou seja, $ 4x $.
  • A equipe de 1º lugar fez o quadrado dos pontos da equipe de 3º lugar, ou seja, $ x^2 $.

Passo 3

Sabemos também que a soma das pontuações das equipes de 1º e 2º lugar é igual a 140 pontos. Podemos escrever isso como uma equação:
x^2 + 4x = 140

Passo 4

Agora, vamos organizar essa equação para resolvermos $ x $. Subtraímos 140 de ambos os lados:
x
Essa é uma equação quadrática da forma $ ax^2 + bx + c = 0 $.

Passo 5

Para resolver a equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 4 $ e $ c = -140 $.

Passo 6

Vamos calcular o discriminante ($ \Delta $):
De
Como o discriminante é positivo, temos duas soluções reais.

Passo 7

Aplicando na fórmula de Bhaskara:
x = -4 pm raiz5762 times 1 = -4 pm 242
Isso resulta em duas soluções:
x = -4 + 242 = 10 e x = -4 - 242 = -14

Passo 8

Como a pontuação não pode ser negativa, descartamos $ x = -14 $. Portanto, $ x = 10 $ pontos é a pontuação da equipe que ficou em 3º lugar.

Passo 9

Agora, vamos encontrar a pontuação da equipe que ficou em 1º lugar, que é $ x^2 $:
x^2

Resposta

A pontuação da equipe que ficou em 1º lugar foi 100 pontos.

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