Given two vectors A and B, how do you find (a) the component of A in the direction of B, and (b) the component of B in the direction of A?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e , e precisa encontrar:
(a) A componente de na direção de ,
(b) A componente de na direção de .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de projeção de vetores e produto escalar. A gente vai precisar saber como calcular o produto escalar e a magnitude dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a componente de um vetor na direção de outro. Basicamente, é o quanto um vetor “aponta” na direção do outro. Imagine que está inclinado em relação a ; a componente de na direção de é o comprimento dessa projeção.

Passo 3

Para encontrar essa componente, usamos a fórmula da projeção:
Componente de A em B = A cdot B|B|
Aqui, é o produto escalar dos vetores, e é a magnitude (ou comprimento) do vetor .

Passo 4

O produto escalar A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz é calculado assim:
Dependendo das componentes dos vetores, você soma o produto das componentes correspondentes.

Passo 5

A magnitude de um vetor |B| = raizBx^2 + By^2 + Bz^2 é calculada pela fórmula:
Isso nos dá o comprimento do vetor .

Passo 6

Agora, aplicando tudo isso para encontrar a componente de Componente de A em B = A cdot B|B| na direção de :

Passo 7

Da mesma forma, para encontrar a componente de Componente de B em A = B cdot A|A| na direção de , a fórmula é:
Note que , então a única diferença é o denominador, que agora é .

Resposta

Portanto:
(a) A componente de na direção de é ,
(b) A componente de na direção de é .

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