Given two vectors
and
, how do you find (a) the component of
in the direction of
, and (b) the component of
in the direction of
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores,
e
, e precisa encontrar:
(a) A componente de na direção de
,
(b) A componente de na direção de
.
(a) A componente de
(b) A componente de
Para resolver isso, vamos usar conceitos de projeção de vetores e produto escalar. A gente vai precisar saber como calcular o produto escalar e a magnitude dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a componente de um vetor na direção de outro. Basicamente, é o quanto um vetor “aponta” na direção do outro. Imagine que
está inclinado em relação a
; a componente de
na direção de
é o comprimento dessa projeção.
Passo 3
Para encontrar essa componente, usamos a fórmula da projeção:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores, e
é a magnitude (ou comprimento) do vetor
.
Passo 4
O produto escalar
é calculado assim:
Dependendo das componentes dos vetores, você soma o produto das componentes correspondentes.
Passo 5
A magnitude de um vetor
é calculada pela fórmula:
Isso nos dá o comprimento do vetor
.
Passo 6
Agora, aplicando tudo isso para encontrar a componente de
na direção de
:
Passo 7
Da mesma forma, para encontrar a componente de
na direção de
, a fórmula é:
Note que
, então a única diferença é o denominador, que agora é
.
Resposta
Portanto:
(a) A componente de na direção de
é
,
(b) A componente de na direção de
é
.
(a) A componente de
(b) A componente de