( 2,5 pontos) Uma partícula puntiforme de carga -q é colocada no centro de uma casca esférica não condutora cujo raio interno é ra e raio externo rb. A casca esférica possui uma distribuição de carga uniforme de densidade -rho. Um próton se move em uma órbita circular de raio R do lado de fora da casca esférica. Utilizando a lei de Gauss, calcule o módulo do campo elétrico gerado pelo conjunto em qualquer ponto ao longo da trajetória do próton e indique sua direção e sentido.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma partícula com carga -q colocada no centro de uma casca esférica não condutora. A casca tem raio interno ra e raio externo rb, e ela está com uma distribuição de carga uniforme de densidade -rho. Além disso, tem um próton circulando em uma órbita de raio R do lado de fora da casca. Nosso objetivo aqui é usar a lei de Gauss para calcular o módulo do campo elétrico gerado por esse conjunto (a partícula e a casca) em qualquer ponto ao longo da trajetória do próton, além de indicar a direção e o sentido desse campo. Para isso, vamos precisar entender como a lei de Gauss funciona e como aplicá-la a sistemas com simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica do vácuo, varepsilon0. Matematicamente, é expressa como:
oint E cdot dA = Qtotalvarepsilon0
No nosso caso, como temos uma simetria esférica, podemos simplificar bastante as coisas. Vamos imaginar uma superfície gaussiana esférica de raio R, onde R > rb (ou seja, o próton está fora da casca). O campo elétrico E será radial e de mesmo módulo em todo o contorno da superfície gaussiana.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a carga total dentro da superfície gaussiana. Temos duas contribuições:
  1. A carga da partícula no centro: É -q.
  2. A carga da casca esférica: A casca não condutora tem uma densidade de carga uniforme -rho. Para encontrar a carga total da casca, multiplicamos essa densidade pelo volume da casca.
O volume de uma casca esférica é dado por:
V = 43pi (rb^3 - ra^3)
Então, a carga total da casca é:
Qcasca = -rho times V = -rho times 43pi (rb^3 - ra^3)

Passo 4

Com isso, a carga total dentro da superfície gaussiana é a soma das cargas da partícula e da casca:
Qtotal = -q + Qcasca = -q - rho times 43pi (rb^3 - ra^3)

Passo 5

Agora, aplicando a lei de Gauss, temos:
E times 4pi R^2 = Qtotalvarepsilon0
Aqui, E é o módulo do campo elétrico que queremos encontrar, e 4pi R^2 é a área da superfície gaussiana esférica.

Passo 6

Isolando E, a expressão fica:
E = Qtotal4pi varepsilon0 R^2
Substituindo Qtotal:
E = -q - rho times 43pi (rb^3 - ra^3)4pi varepsilon0 R^2

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão:
E = -q4pi varepsilon0 R^2 - rho (rb^3 - ra^3)3 varepsilon0 R^2

Passo 8

Observamos que o campo elétrico está sendo influenciado por duas cargas negativas: a partícula no centro e a casca esférica. Como cargas negativas geram campos elétricos direcionados para o centro, o campo resultante também estará direcionado radialmente para o centro da casca.

Resposta

O módulo do campo elétrico gerado pelo conjunto em qualquer ponto ao longo da trajetória do próton é:
E = -q4pi varepsilon0 R^2 - rho (rb^3 - ra^3)3 varepsilon0 R^2
A direção do campo é radial, apontando para o centro da casca esférica, ou seja, na direção radial interna.

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