( 2,5 pontos) Uma partícula puntiforme de carga
é colocada no centro de uma casca esférica não condutora cujo raio interno é
e raio externo
. A casca esférica possui uma distribuição de carga uniforme de densidade
. Um próton se move em uma órbita circular de raio
do lado de fora da casca esférica. Utilizando a lei de Gauss, calcule o módulo do campo elétrico gerado pelo conjunto em qualquer ponto ao longo da trajetória do próton e indique sua direção e sentido.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma partícula com carga
colocada no centro de uma casca esférica não condutora. A casca tem raio interno
e raio externo
, e ela está com uma distribuição de carga uniforme de densidade
. Além disso, tem um próton circulando em uma órbita de raio
do lado de fora da casca. Nosso objetivo aqui é usar a lei de Gauss para calcular o módulo do campo elétrico gerado por esse conjunto (a partícula e a casca) em qualquer ponto ao longo da trajetória do próton, além de indicar a direção e o sentido desse campo. Para isso, vamos precisar entender como a lei de Gauss funciona e como aplicá-la a sistemas com simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica do vácuo,
. Matematicamente, é expressa como:
No nosso caso, como temos uma simetria esférica, podemos simplificar bastante as coisas. Vamos imaginar uma superfície gaussiana esférica de raio
, onde
(ou seja, o próton está fora da casca). O campo elétrico
será radial e de mesmo módulo em todo o contorno da superfície gaussiana.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a carga total dentro da superfície gaussiana. Temos duas contribuições:
- A carga da partícula no centro: É
. - A carga da casca esférica: A casca não condutora tem uma densidade de carga uniforme
. Para encontrar a carga total da casca, multiplicamos essa densidade pelo volume da casca.
O volume de uma casca esférica é dado por:
Então, a carga total da casca é:
Passo 4
Com isso, a carga total dentro da superfície gaussiana é a soma das cargas da partícula e da casca:
Passo 5
Agora, aplicando a lei de Gauss, temos:
Aqui,
é o módulo do campo elétrico que queremos encontrar, e
é a área da superfície gaussiana esférica.
Passo 6
Isolando
, a expressão fica:
Substituindo
:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 8
Observamos que o campo elétrico está sendo influenciado por duas cargas negativas: a partícula no centro e a casca esférica. Como cargas negativas geram campos elétricos direcionados para o centro, o campo resultante também estará direcionado radialmente para o centro da casca.
Resposta
O módulo do campo elétrico gerado pelo conjunto em qualquer ponto ao longo da trajetória do próton é:
A direção do campo é radial, apontando para o centro da casca esférica, ou seja, na direção radial interna.