Which of the following products of vectors do not make sense? Explain.
a) (A cdot B) times C
b) A(B cdot C)
c) A times B times C
d) A / B
e) A / aA
f) (A times B) cdot C

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo: temos várias operações envolvendo vetores e precisamos descobrir quais delas não fazem sentido na álgebra vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender os tipos de produtos entre vetores, como o produto escalar e o produto vetorial, e saber quando essas operações são válidas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o básico sobre os produtos entre vetores:
  • Produto Escalar ( A cdot B): Multiplica dois vetores e resulta em um número escalar. Ele mede quão “alinhados” os vetores estão.
  • Produto Vetorial ( A times B): Multiplica dois vetores e resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. É usado para encontrar uma direção que seja perpendicular a um plano definido por dois vetores.
Também é importante saber que a divisão entre vetores não está definida na álgebra vetorial.

Passo 3

Vamos analisar cada item:
a) (A cdot B) times C
Aqui, A cdot B é um escalar. Depois, estamos tentando fazer o produto vetorial desse escalar com o vetor C. Porém, o produto vetorial é definido apenas entre dois vetores, não entre um escalar e um vetor. Então, essa operação não faz sentido.
b) A(B cdot C)
Nesse caso, B cdot C é um escalar. Multiplicar um vetor por um escalar é uma operação válida na álgebra vetorial, resultando em um vetor que é simplesmente escalado pelo valor do escalar. Essa operação faz sentido.
c) A times B times C
Esse é o produto vetorial triplo. Embora não seja uma operação comum, podemos interpretá-lo como (A times B) times C. O resultado será um vetor, já que o produto vetorial de dois vetores é outro vetor, e então este vetor pode ser novamente cruzado com C. Portanto, essa operação faz sentido.
d) A / B
A divisão entre vetores não está definida na álgebra vetorial. Não temos uma operação de “dividir” um vetor por outro vetor. Essa operação não faz sentido.
e) A / aA
Aqui, aA parece ser uma componente ou alguma outra forma de representar algo relacionado ao vetor A. De qualquer forma, a divisão entre vetores não está definida, então essa operação também não faz sentido.
f) (A times B) cdot C
Primeiro, calculamos A times B, que resulta em um vetor. Depois, fazemos o produto escalar desse vetor resultante com C. O produto escalar entre dois vetores é uma operação válida e resulta em um escalar. Portanto, essa operação faz sentido.

Resposta

As operações que não fazem sentido são:
  • a) (A cdot B) times C
  • d) A / B
  • e) A / aA
Essas operações envolvem tentativas de multiplicar vetores por escalares usando o produto vetorial ou dividir vetores, o que não é definido na álgebra vetorial.

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