Governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população: p(t) = 40 × 23 t em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares de bactérias. Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 4 horas, a população será:

Passo 1

Beleza, então vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um problema que envolve crescimento populacional de bactérias, que faz parte da matéria de Matemática Aplicada ou Biologia Matemática. O que precisamos fazer aqui é calcular a quantidade de bactérias após 4 horas, usando a fórmula que foi dada. Vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que a gente tem:
p(t) = 40 times 2^3t
Aqui, $ p(t) $ representa a população de bactérias em milhares, e $ t $ é o tempo em horas. O número 40 é a quantidade inicial de bactérias (40 mil), e a base 2 elevada a $ 3t $ indica como a população cresce ao longo do tempo.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre funções exponenciais, que são usadas para modelar situações onde algo cresce (ou decresce) rapidamente. Nessa fórmula, $ 2^{3t} $ mostra que a população está crescendo exponencialmente com o tempo. O “3” no expoente indica a taxa de crescimento.

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar a população após 4 horas. Então, vamos substituir $ t $ por 4 na fórmula:
t

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão no expoente:
3 times 4 = 12
Então, a fórmula fica:
p(4) = 40 times 2^12

Passo 6

Vamos calcular $ 2^{12} $. Sabemos que:
2^12
2^10 = 1024
Então:
2^12 = 2^10 times 2^2 = 1024 times 4 = 4096

Passo 7

Multiplicando os valores:
40 times 4096 = 163840
Como $ p(t) $ está em milhares de bactérias, temos:
p(t) é

Resposta

Após 4 horas, a população de bactérias será de 163.840.000 bactérias, ou seja, 163.840 milhares de bactérias.

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