Governo de uma cidade está preocupado com a possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população: p(t) = 40 × 23 t em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em milhares de bactérias. Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 4 horas, a população será:
Passo 1
Beleza, então vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um problema que envolve crescimento populacional de bactérias, que faz parte da matéria de Matemática Aplicada ou Biologia Matemática. O que precisamos fazer aqui é calcular a quantidade de bactérias após 4 horas, usando a fórmula que foi dada. Vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que a gente tem:
Aqui, $ p(t) $ representa a população de bactérias em milhares, e $ t $ é o tempo em horas. O número 40 é a quantidade inicial de bactérias (40 mil), e a base 2 elevada a $ 3t $ indica como a população cresce ao longo do tempo.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre funções exponenciais, que são usadas para modelar situações onde algo cresce (ou decresce) rapidamente. Nessa fórmula, $ 2^{3t} $ mostra que a população está crescendo exponencialmente com o tempo. O “3” no expoente indica a taxa de crescimento.
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar a população após 4 horas. Então, vamos substituir $ t $ por 4 na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão no expoente:
Então, a fórmula fica:
Passo 6
Vamos calcular $ 2^{12} $. Sabemos que:
Então:
Passo 7
Multiplicando os valores:
Como $ p(t) $ está em milhares de bactérias, temos:
Resposta
Após 4 horas, a população de bactérias será de 163.840.000 bactérias, ou seja, 163.840 milhares de bactérias.