Um grafo
é dito conexo se, para qualquer par
de vértices de
, existe uma forma de se chegar de
até
. Com base nessa definição, escreva um algoritmo eficiente que decida se um grafo é ou não conexo.
Passo 1
Beleza, a questão quer saber se um grafo
é conexo, ou seja, se dá para ir de qualquer vértice
para qualquer vértice
dentro do grafo. Vamos precisar usar um algoritmo que percorra o grafo de forma eficiente para verificar se todos os vértices estão conectados. Para isso, vamos usar a Busca em Profundidade (DFS) ou a Busca em Largura (BFS), que são técnicas básicas na teoria dos grafos.
Passo 2
Primeiro, escolhemos um vértice qualquer do grafo para começar. Vamos chamar esse vértice de vértice inicial. A ideia é começar a explorar o grafo a partir desse vértice e ver quantos outros vértices conseguimos alcançar.
Passo 3
Usando a Busca em Profundidade (DFS), vamos visitar todos os vértices que estão conectados diretamente ou indiretamente ao vértice inicial. A DFS funciona explorando o mais fundo possível a partir de cada vértice antes de retroceder.
Passo 4
Depois de executar a DFS, vamos verificar quantos vértices foram visitados durante a busca. Se todos os vértices do grafo foram visitados, isso significa que há um caminho entre qualquer par de vértices, ou seja, o grafo é conexo.
Passo 5
Se, por outro lado, alguns vértices não foram visitados após a execução da DFS, isso quer dizer que existem partes do grafo que não estão conectadas ao vértice inicial. Nesse caso, o grafo não é conexo.
Resposta
Então, o algoritmo para decidir se um grafo
é conexo é o seguinte:
- Escolher um vértice inicial do grafo.
- Executar a Busca em Profundidade (DFS) a partir desse vértice, marcando todos os vértices alcançados.
- Verificar se todos os vértices do grafo foram visitados.
- Se sim, o grafo é conexo.
- Se não, o grafo não é conexo.
Esse método é eficiente porque a DFS tem uma complexidade de tempo de
, onde
é o número de vértices e
é o número de arestas do grafo.