Um grafo G é dito conexo se, para qualquer par u, v de vértices de G, existe uma forma de se chegar de u até v. Com base nessa definição, escreva um algoritmo eficiente que decida se um grafo é ou não conexo.

Passo 1

Beleza, a questão quer saber se um grafo G é conexo, ou seja, se dá para ir de qualquer vértice u para qualquer vértice v dentro do grafo. Vamos precisar usar um algoritmo que percorra o grafo de forma eficiente para verificar se todos os vértices estão conectados. Para isso, vamos usar a Busca em Profundidade (DFS) ou a Busca em Largura (BFS), que são técnicas básicas na teoria dos grafos.

Passo 2

Primeiro, escolhemos um vértice qualquer do grafo para começar. Vamos chamar esse vértice de vértice inicial. A ideia é começar a explorar o grafo a partir desse vértice e ver quantos outros vértices conseguimos alcançar.

Passo 3

Usando a Busca em Profundidade (DFS), vamos visitar todos os vértices que estão conectados diretamente ou indiretamente ao vértice inicial. A DFS funciona explorando o mais fundo possível a partir de cada vértice antes de retroceder.

Passo 4

Depois de executar a DFS, vamos verificar quantos vértices foram visitados durante a busca. Se todos os vértices do grafo foram visitados, isso significa que há um caminho entre qualquer par de vértices, ou seja, o grafo é conexo.

Passo 5

Se, por outro lado, alguns vértices não foram visitados após a execução da DFS, isso quer dizer que existem partes do grafo que não estão conectadas ao vértice inicial. Nesse caso, o grafo não é conexo.

Resposta

Então, o algoritmo para decidir se um grafo G é conexo é o seguinte:
  1. Escolher um vértice inicial do grafo.
  2. Executar a Busca em Profundidade (DFS) a partir desse vértice, marcando todos os vértices alcançados.
  3. Verificar se todos os vértices do grafo foram visitados.
    • Se sim, o grafo é conexo.
    • Se não, o grafo não é conexo.
Esse método é eficiente porque a DFS tem uma complexidade de tempo de O(V + E), onde V é o número de vértices e E é o número de arestas do grafo.

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