Em um grande lote de peças produzidas, 8 % são defeituosas. Verifique se é mais provável ocorrer um percentual de peças defeituosas acima de 10% em uma amostra de 100 peças, ou um percentual de peças defeituosas acima de 9 % em uma amostra aleatória de 324 peças.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um lote grande de peças onde 8% são defeituosas. A pergunta é: é mais provável que em uma amostra de 100 peças, mais de 10% sejam defeituosas, ou que em uma amostra de 324 peças, mais de 9% sejam defeituosas?
Aqui, a gente vai usar conceitos de probabilidade binomial e aproximação normal pra resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a amostra de 100 peças com a possibilidade de mais de 10% serem defeituosas.
A porcentagem de defeituosos esperada é 8%, então vamos calcular a média ( mu = n times p = 100 times 0.08 = 8 ) e o desvio padrão ( sigma = raizn times p times (1 - p) = raiz100 times 0.08 times 0.92 approx 2.72 ) dessa distribuição.

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade de mais de 10% das 100 peças serem defeituosas. 10% de 100 peças é 10 peças.
Vamos usar a aproximação normal para calcular essa probabilidade. Primeiro, encontramos o valor z:
z = X - musigma = 10 - 82.72 approx 0.74
Consultando a tabela da distribuição normal, a probabilidade de z ser maior que 0.74 é aproximadamente 0.2296, ou 22.96%.

Passo 4

Agora, vamos analisar a amostra de 324 peças com a possibilidade de mais de 9% serem defeituosas.
9% de 324 peças é aproximadamente 29.16 peças. Vamos arredondar para 29 peças para facilitar.
Calculamos a média ( mu = n times p = 324 times 0.08 = 25.92 ) e o desvio padrão ( sigma = raizn times p times (1 - p) = raiz324 times 0.08 times 0.92 approx 4.75 ):

Passo 5

Agora, queremos a probabilidade de mais de 29 peças serem defeituosas.
Calculamos o valor z:
z = 29 - 25.924.75 approx 0.63
Consultando a tabela da distribuição normal, a probabilidade de z ser maior que 0.63 é aproximadamente 0.2643, ou 26.43%.

Resposta

É mais provável que em uma amostra de 324 peças aleatórias, mais de 9% sejam defeituosas (26.43%) do que em uma amostra de 100 peças, mais de 10% serem defeituosas (22.96%).

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