Um laboratório fabrica certo medicamento para alívio da dor cujo início da ação acontece, em média, com 10 minutos e desvio padrão de 1 minuto. O laboratório desenvolveu novo produto e afirma que ele tem tempo de ação médio inferior a 10 minutos (e o mesmo desvio padrão igual a 1 minuto). Para verificar a plausibilidade da afirmação do fabricante, foi realizado um teste com 9 indivíduos, que apresentaram os seguintes tempos de ação do medicamento: 8,9 9,0 9,1 9,2 9,2 9,5 9,5 9,6 9,0. Com base nessas informações, é correto afirmar que: Para se concluir sobre a afirmação do fabricante deve-se aplicar o teste
porque se conhece o desvio padrão populacional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre o tempo de ação de um medicamento. O laboratório diz que o novo remédio age, em média, menos de 10 minutos, com desvio padrão de 1 minuto. Eles fizeram um teste com 9 pessoas e registraram os tempos: 8,9; 9,0; 9,1; 9,2; 9,2; 9,5; 9,5; 9,6; 9,0. Queremos verificar se realmente devemos usar o teste Z para confirmar essa afirmação, já que conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um teste Z. O teste Z é usado quando queremos testar uma hipótese sobre a média de uma população e sabemos o desvio padrão dessa população. Ele nos ajuda a determinar se a média observada na amostra é significativamente diferente da média proposta pelo fabricante.
Passo 3
Vamos definir as hipóteses:
- Hipótese Nula (H₀): A média do tempo de ação é igual a 10 minutos.
- Hipótese Alternativa (H₁): A média do tempo de ação é menor que 10 minutos.
Passo 4
Agora, calculamos a média dos tempos da amostra. Somando todos os valores:
Dividindo pelo número de indivíduos (9):
Passo 5
Vamos calcular o valor do teste Z usando a fórmula:
Onde:
-
é a média da amostra (≈ 9,444) -
é a média proposta (10) -
é o desvio padrão da população (1) -
é o tamanho da amostra (9)
Substituindo:
Passo 6
Precisamos definir um nível de significância (geralmente 5%). Consultando a tabela Z para um teste unilateral (pois queremos saber se é menor), encontramos que o valor crítico é aproximadamente -1,645.
Passo 7
Comparando o valor calculado de Z (-1,67) com o valor crítico (-1,645):
- -1,67 < -1,645: Isso significa que estamos na região de rejeição da hipótese nula.
Resposta
Sim, é correto afirmar que devemos aplicar o teste Z porque conhecemos o desvio padrão populacional.