Um grande tanque de área muito grande é preenchido com água até uma altura D=30,5 cm. Um pequeno orifício com seção reta A=6,45 cm^2, situado no fundo do tanque, permite drenar a água do interior do tanque. Determine:
b) A que distância abaixo do fundo do tanque a área da seção reta do jato se torna igual à metade da área do orifício? (91,5 cm)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um tanque grande cheio de água até uma altura de D = 30,5 cm. No fundo do tanque, há um orifício pequeno com área de seção reta A = 6,45 cm^2 que permite a água sair. A parte (b) da questão quer saber a que distância abaixo do fundo desse tanque a área da seção reta do jato de água se torna metade da área do orifício, ou seja, A2 = 3,225 cm^2. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a Lei de Torricelli e a continuidade dos fluxos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Torricelli, que nos dá a velocidade com que a água sai do orifício. Ela diz que:
v = raiz2gD
onde:
  • v é a velocidade da água saindo do orifício,
  • g é a aceleração da gravidade ( approx 9,81 m/s^2),
  • D é a altura da coluna de água acima do orifício.
Vamos calcular essa velocidade usando D = 30,5 cm = 0,305 m:
v = raiz2 times 9,81 times 0,305 approx raiz5,983 approx 2,446 m/s

Passo 3

Agora, aplicamos o Princípio da Continuidade, que nos diz que o fluxo de água deve ser constante ao longo do jato. A equação de continuidade é:
A cdot v = a cdot u
onde:
  • A é a área do orifício,
  • v é a velocidade da água no orifício,
  • a é a área do jato em qualquer ponto,
  • u é a velocidade da água nesse ponto.
Queremos encontrar a distância onde a = A2 = 3,225 cm^2 = 0,0003225 m^2. Vamos reorganizar a equação para encontrar u:
u = A cdot va = 0,0000645 times 2,4460,0003225 approx 0,486 m/s

Passo 4

Para encontrar a distância h onde a velocidade da água é u, usamos a equação da conservação de energia. A água sofre uma perda de energia cinética conforme desce, que está relacionada com a distância percorrida.
A velocidade u em um ponto a uma distância h abaixo do orifício pode ser expressa por:
u = raiz2g(D + h)
Já conhecemos u = 0,486 m/s e queremos achar h. Vamos isolar h na equação:
0,486 = raiz2 times 9,81 times (0,305 + h)
Elevando ambos os lados ao quadrado:
0,486^2 = 2 times 9,81 times (0,305 + h) 0,236 = 19,62 times (0,305 + h) 0,236 / 19,62 = 0,305 + h 0,01205 = 0,305 + h h = 0,01205 - 0,305 h approx -0,29295 m
Wait, obtivemos um valor negativo para h, o que não faz sentido fisicamente. Isso indica que houve um erro na aplicação das fórmulas. Vamos corrigir isso.

Passo 5

Na verdade, para a velocidade do jato a uma distância h abaixo do orifício, podemos considerar que a velocidade permanece a mesma, já que não houve informações sobre resistência do ar ou outras perdas. Portanto, a área do jato a distância h pode ser relacionada à expansão do jato devido à conservação do fluxo.
Podemos usar a equação de continuidade novamente:
A cdot v = a cdot u
Sabemos que a = A2, então substituindo:
A cdot v = A2 cdot u v = u2
Isso implica que:
uv = 2
A velocidade u no ponto onde a área é metade é metade da velocidade no orifício, que é v/2.
Agora, considerando a conservação de energia entre dois pontos (no orifício e a distância h), temos:
v^2 = u^2 + 2gh
Substituindo u = v2:
v^2 = (v2)^2 + 2gh v^2 = v^24 + 2gh v^2 - v^24 = 2gh 3v^24 = 2gh h = 3v^28g
Agora, substituímos os valores:
h = 3 times (2,446)^28 times 9,81 h = 3 times 5,98378,48 h = 17,94978,48 approx 0,2285 m = 22,85 cm
Parece que ainda não chegamos a 91,5 cm. Vamos revisar novamente.

Passo 6

Vamos considerar que a expansão do jato é influenciada pela velocidade e pela distância, utilizando a equaç��o de Torricelli modificada para jatos.
A pressão dinâmica na água está relacionada à velocidade e à área. Porém, para simplificar, vamos usar a relação geométrica do jato:
A velocidade do jato diminui à medida que a água desce, e a área aumenta para conservar o fluxo. A distância h pode ser encontrada pela relação inversa entre velocidade e área:
aA = vu 12 = vu u = 2v
Agora, aplicamos a conservação de energia entre o orifício e o ponto a distância h:
u^2 = v^2 + 2gh (2v)^2 = v^2 + 2gh 4v^2 = v^2 + 2gh 3v^2 = 2gh h = 3v^22g
Substituindo os valores:
h = 3 times (2,446)^22 times 9,81 h = 3 times 5,98319,62 h = 17,94919,62 approx 0,915 m = 91,5 cm

Resposta

A distância abaixo do fundo do tanque onde a área da seção reta do jato se torna igual à metade da área do orifício é de 91,5 cm.

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