y=(0,1 m) sen(pi x / 2) sen(12 pi t)
sendo x=0 em uma das extremidades da corda, x está em metros e t está em segundos. Qual é (a) o comprimento da corda, (b) a velocidade das ondas na corda e © a massa da corda? (d) Se a corda oscila no terceiro harmônico de uma onda estacionária, qual é o período de oscilação?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação de uma onda estacionária na forma:
Aqui, y = (0,1 m) sen(pi x2) sen(12pi t) está medindo a posição ao longo da corda em metros, e é o tempo em segundos. Vamos precisar de conceitos de ondas estacionárias, harmônicos, velocidade de onda e massa da corda para resolver as partes (a), (b), © e (d).

Passo 2

Parte (a): Comprimento da corda
A forma geral de uma onda estacionária é:
onde y(x, t) = A sen(kx) sen(omega t) é a amplitude, k = pi2 é o número de onda, e L = nlambda2 é a frequência angular.
Comparando com nossa equação:
Sabemos que , onde é o comprimento de onda. Mas para ondas estacionárias fixas nas extremidades, o comprimento da corda está relacionado ao número de nós. Se estamos no terceiro harmônico, então:
Onde .
Mas vamos primeiro encontrar e depois relacionar com .

Passo 3

Encontrando pi2 = 2pilambda Rightarrow lambda = 4 m :
Sabemos que L = nlambda2 = 3 times 42 = 6 m , então:
Agora, para o terceiro harmônico ( ):

Passo 4

Parte (b): Velocidade das ondas na corda
A velocidade da onda v = f lambda está relacionada à frequência omega = 12pi Rightarrow omega = 2pi f Rightarrow f = omega2pi = 12pi2pi = 6 Hz e ao comprimento de onda v = 6 times 4 = 24 m/s pela fórmula:
Primeiro, vamos encontrar , que é a frequência angular:
Agora, usando :

Passo 5

Parte ©: Massa da corda
Precisamos da densidade linear da corda mu = mL , que está relacionada à massa v = raizTmu Rightarrow mu = Tv^2 e ao comprimento m = mu L :
A velocidade da onda também pode ser expressa em termos de tensão e densidade linear :
Entretanto, sem a tensão , precisamos de mais informações. Se assumirmos que a pergunta deseja apenas a relação, podemos expressar em termos de :
Sem valores adicionais, não podemos calcular um valor numérico para a massa.

Passo 6

Parte (d): Período de oscilação no terceiro harmônico
O período T = 1f está relacionado à frequência T = 16 approx 0,1667 s pela fórmula:
Já encontramos , então:

Resposta

a) O comprimento da corda é 6 metros.
b) A velocidade das ondas na corda é 24 m/s.
c) A massa da corda não pode ser determinada com as informações fornecidas.
d) O período de oscilação no terceiro harmônico é aproximadamente 0,1667 segundos.

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