sendo
em uma das extremidades da corda,
está em metros e
está em segundos. Qual é (a) o comprimento da corda, (b) a velocidade das ondas na corda e © a massa da corda? (d) Se a corda oscila no terceiro harmônico de uma onda estacionária, qual é o período de oscilação?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação de uma onda estacionária na forma:
Aqui,
está medindo a posição ao longo da corda em metros, e
é o tempo em segundos. Vamos precisar de conceitos de ondas estacionárias, harmônicos, velocidade de onda e massa da corda para resolver as partes (a), (b), © e (d).
Passo 2
Parte (a): Comprimento da corda
A forma geral de uma onda estacionária é:
onde
é a amplitude,
é o número de onda, e
é a frequência angular.
Comparando com nossa equação:
Sabemos que
, onde
é o comprimento de onda. Mas para ondas estacionárias fixas nas extremidades, o comprimento da corda
está relacionado ao número de nós. Se estamos no terceiro harmônico, então:
Onde
.
Mas vamos primeiro encontrar
e depois relacionar com
.
Passo 3
Encontrando
:
Sabemos que
, então:
Agora, para o terceiro harmônico (
):
Passo 4
Parte (b): Velocidade das ondas na corda
A velocidade da onda
está relacionada à frequência
e ao comprimento de onda
pela fórmula:
Primeiro, vamos encontrar
, que é a frequência angular:
Agora, usando
:
Passo 5
Parte ©: Massa da corda
Precisamos da densidade linear da corda
, que está relacionada à massa
e ao comprimento
:
A velocidade da onda também pode ser expressa em termos de tensão
e densidade linear
:
Entretanto, sem a tensão
, precisamos de mais informações. Se assumirmos que a pergunta deseja apenas a relação, podemos expressar
em termos de
:
Sem valores adicionais, não podemos calcular um valor numérico para a massa.
Passo 6
Parte (d): Período de oscilação no terceiro harmônico
O período
está relacionado à frequência
pela fórmula:
Já encontramos
, então:
Resposta
a) O comprimento da corda é 6 metros.
b) A velocidade das ondas na corda é 24 m/s.
c) A massa da corda não pode ser determinada com as informações fornecidas.
d) O período de oscilação no terceiro harmônico é aproximadamente 0,1667 segundos.
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onde
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