Um grupo de 12 homens e 4 mulheres concorre a três prêmios através de um sorteio, sem reposição de seus nomes. Qual a probabilidade de: a) nenhuma mulher ser sorteada? R=11 / 28 b) O prêmio ser ganho por pelo menos uma mulher? R=17 / 28

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre probabilidade em um sorteio onde temos 12 homens e 4 mulheres competindo por três prêmios. A matéria envolvida aqui é probabilidade sem reposição, que estuda as chances de eventos acontecerem quando não há reposição dos elementos após cada seleção. Para resolver, a gente vai precisar calcular o número de maneiras de escolher os vencedores sem que nenhuma mulher seja sorteada e depois relacionar isso com o total de maneiras possíveis de sortear qualquer combinação de três pessoas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o total de maneiras de sortear 3 pessoas entre as 16 (12 homens + 4 mulheres). Isso é uma combinação, pois a ordem não importa. A fórmula para combinações é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Então, temos:
C(16, 3) = 16!3!(16 - 3)! = 16 times 15 times 143 times 2 times 1 = 560
Ou seja, existem 560 maneiras diferentes de sortear 3 pessoas entre 16.

Passo 3

Agora, vamos calcular as maneiras de sortear 3 pessoas somente entre os homens, já que a questão a) pede que nenhuma mulher seja sorteada. Temos 12 homens, então usamos a mesma fórmula:
C(12, 3) = 12!3!(12 - 3)! = 12 times 11 times 103 times 2 times 1 = 220
Então, há 220 maneiras de sortear 3 homens.

Passo 4

A probabilidade de nenhum prêmio ser ganho por uma mulher é a razão entre as maneiras de sortear apenas homens e o total de maneiras possíveis de sortear 3 pessoas. Assim:
P(nenhuma mulher) = C(12, 3)C(16, 3) = 220560 = 1128
Portanto, a probabilidade de nenhuma mulher ser sorteada é .

Passo 5

Para a parte b), queremos a probabilidade de pelo menos uma mulher ganhar um prêmio. Essa probabilidade é complementar à probabilidade de nenhuma mulher ser sorteada. Em outras palavras:
P(pelo menos uma mulher) = 1 - P(nenhuma mulher)
Já sabemos que P(pelo menos uma mulher) = 1 - 1128 = 1728 , então:
Então, a probabilidade de pelo menos uma mulher ser sorteada é .

Resposta

a) A probabilidade de nenhuma mulher ser sorteada é .
b) A probabilidade de pelo menos uma mulher ser sorteada é .

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